Ստանդարտ շեղումը ռուլետկայում
Ռուլետկայի ստանդարտ շեղումը՝ դիսպերսիայիմաթեմատիկաԴիսպերսիաՉափ, թե որքան լայն են արդյունքները ցրված սպասվող արժեքի շուրջ։ Մեծ է մեկ թվի խաղադրույքի համար, փոքր՝ հավասար վճարով խաղադրույքների համար։Կարդալ ամբողջը → քառակուսի արմատը, արդյունքի և դրա սպասվող արժեքի բնորոշ հեռավորությունն է։
Խաղադրույք արված $1-ի հաշվով σ-ն 5,84 է մեկ թվի խաղադրույքի և 1,00՝ կարմիրի համար։ Խաղաշրջանի համար բազմապատկեք խաղադրույքի գումարով և պտույտների քանակի քառակուսի արմատով։
Մոտավոր կանոն
Խաղաշրջանների մոտ երկու երրորդը հայտնվում է սպասվող արժեքից մեկ σ-ի սահմաններում, իսկ 95%-ը՝ երկու ստանդարտ շեղման սահմաններում։ ԿարմիրիխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը → վրա $10-ով 100 պտույտի դեպքում (սպասվող արժեքը՝ −$27, σ = $100) խաղաշրջանների մեծ մասն ընկնում է −$127-ի և +$73-ի միջև, իսկ գրեթե բոլորը՝ −$227-ի և +$173-ի միջև։ Այդ միջակայքից դուրս արդյունքը ոչնչի ապացույց չէ, բացի այն, որ քսան խաղաշրջանից մեկի հետ դա պատահում է։
Ինչու √N
Սպասվող կորուստնմաթեմատիկաՍպասվող կորուստՍպասվող արժեքը՝ բազմապատկած խաղադրույք արված ամբողջ գումարով․ խաղաշրջանի կամ ժամանակահատվածի ընթացքում կորցրած միջին գումարը։Կարդալ ամբողջը → աճում է N-ին համամասնորեն, իսկ ցրվածությունը՝ √N-ին համամասնորեն։ Փոքր N-ի դեպքում գերակշռում է ցրվածությունը, և խաղաշրջանները գրեթե մետաղադրամ նետել են՝ թեթև թեքումով։ Մեծ N-ի դեպքում կորուստն առաջ է անցնում ցրվածությունից։ Անցման կետը, որտեղ սպասվող կորուստը հավասարվում է մեկ ստանդարտ շեղմանմաթեմատիկաՍտանդարտ շեղումԴիսպերսիայի քառակուսի արմատը․ արդյունքի տիպիկ հեռավորությունը սպասվող արժեքից։Կարդալ ամբողջը →, N = (σ/առավելություն)² = (1/0,027)² ≈ 1370 պտույտն է հավասար վճարով խաղադրույքների և (5,84/0,027)² ≈ 46 800-ը՝ մեկ թվի խաղադրույքներիխաղադրույքՄեկ թվի խաղադրույքՄեկ թիվ, վճարում է 35:1։Կարդալ ամբողջը → համար։ Այդ թվերից ցածր որոշում է բախտը, դրանցից բարձր՝ առավելությունը։
Ինչպես օգտագործել
Որպեսզի գնահատեք, թե արդյոք խաղաշրջանն անսովոր էր, հաշվեք (արդյունք − EV)/σ։ Կարմիրի վրա $10-ով խաղացողը, որը 100 պտույտն ավարտում է +$150-ով, գտնվում է (150 + 27)/100 = 1,77σ կետում, ինչը 25-ից մեկ դեպքում հանդիպող արդյունք է․ բախտավոր, բայց ոչ ուշագրավ։ Մեկ թվի խաղադրույքներով խաղացողը նույն +$150-ով գտնվում է 0,3σ կետում․ սովորական երեկո։ Դոլարով նույն արդյունքը տարբեր խաղադրույքներում տարբեր բան է նշանակում։
Համամասնության ստանդարտ սխալը
Նույն թվաբանությունը ցույց է տալիս, թե քանի պտույտ է պետք, որպեսզի առավելությունը երևա տվյալներում։ Դիտարկված շահումների համամասնության ստանդարտ սխալը √(p(1 − p)/N) է։ Կարմիրի համար N = 1000 դեպքում՝ √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%։ Արդար մետաղադրամի և կարմիրի տարբերությունը 1,35% է, ուստի 1000 պտույտից հետո դեռ չեք կարող վստահորեն տարբերել դրանք։ 10 000 պտույտից հետո ստանդարտ սխալը 0,5% է, և արդեն կարող եք։ Դրա համար է նաև անիվի շեղվածությունը հայտնաբերելու համար այդքան շատ պտույտ պետք։
Զգուշացում ասիմետրիայի մասին
Կարճ խաղաշրջանում մեկ թվի խաղադրույքների արդյունքները նորմալ բաշխումից շատ հեռու են․ խաղաշրջանների մեծ մասը մեկ պտույտում հաստատուն −$10 է՝ երբեմն +$350-անոց թռիչքներով։ ±1σ կանոնը ցրվածությունը նկարագրում է ճիշտ, բայց ձևը՝ վատ, քանի դեռ N-ը հարյուրավորների չի հասել։ Հավասար վճարով խաղադրույքներիխաղադրույքՀավասար վճարով խաղադրույքԿարմիր/սև, կենտ/զույգ, բարձր/ցածր։ 18 թիվ, վճարում է 1:1։Կարդալ ամբողջը → համար նորմալ մոտարկումը լավ է մոտ 30 պտույտից սկսած։
Բանաձև
Հարցեր
Դա ապացույց է, որ խաղացել եք մոտ 40 խաղաշրջան, կամ որ քառասունից մեկ բախտավոր խաղաշրջանն էր։ Կրկնեք այն։
Այն տատանվում է ավելի ու ավելի քիչ․ միջինի ստանդարտ սխալը σ/√N է։ N = 10 000 դեպքում այն խաղադրույքի գումարի 1%-ն է։
Մաթեմատիկական զվարճանքներ
Նախ փորձեք ինքներդ լուծել։ Յուրաքանչյուր լուծում ծալված է․ բացեք այն, երբ պատրաստ լինեք։
Եվրոպական անիվի 100 պտույտում կարմիրիխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը → վրա մեկ միավորըֆինանսներՄիավորԲազային խաղադրույքի գումարը, որով աշխատում է համակարգը կամ խաղացողը։ Պրոգրեսիաները նկարագրվում են միավորներով, որպեսզի կիրառելի լինեն ցանկացած սեղանի մոտ։Կարդալ ամբողջը → շահույթով է առնվազն 51 շահումի դեպքում, իսկ մեկ թվի խաղադրույքիխաղադրույքՄեկ թվի խաղադրույքՄեկ թիվ, վճարում է 35:1։Կարդալ ամբողջը → վրա մեկ միավորը շահույթով է, եթե դրա թիվը դուրս է գալիս առնվազն 3 անգամ։ Զանգակաձև կորով գնահատեք երկու հավանականությունն էլ, ապա համեմատեք դրանք ճշգրիտ պատասխանների հետ։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Կարմիր․ զանգակաձև կորը տալիս է 35,6%, իսկ ճշգրիտ պատասխանը 35,5% է։ Մեկ թվի խաղադրույք․ զանգակաձև կորը տալիս է 55,0%, իսկ ճշգրիտ պատասխանը 50,9% է։ Մոտարկումն աշխատում է կարմիրի համար և սխալվում մեկ թվի դեպքում։
Կարմիր․ շահումների միջինը 100 × 18/37 = 48,6 է, ստանդարտ շեղումը՝ √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0։ Շահույթը նշանակում է 51 կամ ավելի շահում․ կիսակետը՝ 50,5-ը, միջինից 0,37 ստանդարտ շեղումով վեր է, և զանգակաձև կորը դրանից վեր դնում է 35,6%։ 51, 52 … 100 շահումների ճշգրիտ հավանականությունների գումարը տալիս է 35,5%։
Մեկ թվի խաղադրույք․ դուրս գալու դեպքերի միջինը 100/37 = 2,70 է, ստանդարտ շեղումը՝ √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62։ Երեք կամ ավելի դուրս գալու դեպք նշանակում է 2,5-ից ավելի, ինչը միջինից 0,12 ստանդարտ շեղումով պակաս է․ զանգակաձև կորով՝ 55,0%։ Ճշգրիտ հաշվարկով դա 1 է՝ հանած 0, 1 և 2 դուրս գալու դեպքի հավանականությունները՝ 6,5% + 17,9% + 24,7%, ինչը թողնում է 50,9%։
Զանգակաձև կորին պետք են բազմաթիվ արդյունքներ միջինի երկու կողմում։ Կարմիրն ունի դրանք 100 պտույտից հետո, իսկ թիվը, որը միջինում երեքից քիչ անգամ է դուրս գալիս, չունի։ Կորը նույնիսկ 8,7% է վերագրում «ոչ մի դուրս գալու դեպք» ելքին, մինչդեռ իրական հավանականությունը 6,5% է։ Թեյլորը (2021) բինոմական բաշխումը և զանգակաձև կորը դնում է կողք կողքի նույն ձևով։
Մի քիչ հումոր
Քսան խաղաշրջանից մեկը երկու սիգմայից դուրս է։ Ինչ-որ մեկը միշտ պոչում է։
Աղբյուրներ
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.