Քելիի չափանիշը և ռուլետկան
Քելիի չափանիշն առավելություն ունեցող խաղացողին ասում է, թե որքան գումար դնի։ Ռուլետկայի համար այն տալիս է հստակ պատասխան՝ ոչինչ։
Քելիի գումար = առավելություն / շանսեր։ Բացասական առավելության դեպքում բանաձևը տալիս է բացասական մաս, ինչը նշանակում է՝ խաղադրույք մի կատարեք։ Չափանիշն այնուամենայնիվ օգտակար է հասկանալու համար, թե ինչու էին շեղված անիվներով խաղացողներն իրենց խաղադրույքներն այդպես չափում, և ինչու բոլոր մյուսները պետք է գումարը չափեն ըստ բյուջեի։
Չափանիշը
Ջոն Քելին (1956) հարց տվեց, թե հայտնի առավելություն ունեցող խաղացողն ինչպես պետք է չափի խաղադրույքները, որպեսզի առավելագույնի հասցնի խաղային բյուջեիֆինանսներԽաղային բյուջեԽաղի համար առանձնացված ամբողջ գումարը։ Խաղային բյուջեի կառավարումը որոշելն է, թե դրա որ մասը վտանգել մեկ խաղադրույքում և մեկ խաղաշրջանում։Կարդալ ամբողջը → աճը երկար ժամանակահատվածում։ b առ 1 վճարող խաղադրույքի համար, որի շահելու հավանականությունըմաթեմատիկաՀավանականությունԱրդյունքի հնարավորությունը՝ 0-ից 1 կամ 0%-ից 100%։ Մեկ թիվ՝ 1/37 = 2,70%։Կարդալ ամբողջը → p է, իսկ պարտվելունը՝ q = 1 − p, պատասխանն այն է, որ պետք է դնել բյուջեի f* = (bp − q) / b մասը։ Դրական f*-ը նշանակում է՝ դրեք այդ մասը, զրոն կամ բացասականը՝ խաղադրույք մի կատարեք։ Քելին աշխատում էր Bell Labs-ում, և նրա «A new interpretation of information rate» հոդվածը խնդիրը դրեց Քլոդ Շենոնի ինֆորմացիայի տեսության մեջ․ խաղացողը, որն արդար շանսերով խաղալիս հուշումներ է ստանում աղմկոտ գծով, կարող է բյուջեն աճեցնել առավելագույնն այն արագությամբ, որով գիծն ինֆորմացիա է փոխանցում։ 1961-ին Լեո Բրեյմանն ապացուցեց, որ Քելիի մեթոդով խաղադրույքները երկար ժամանակահատվածում ավելի լավ արդյունք են տալիս, քան ցանկացած էապես տարբեր ռազմավարություն, և նշված նպատակին հասնում են մոտավորապես ամենակարճ ժամանակում։
Քելիի չափանիշը ռուլետկայում
ԿարմիրիխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը → համար՝ b = 1, p = 18/37, q = 19/37, f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37։ Մեկ թվի խաղադրույքիխաղադրույքՄեկ թվի խաղադրույքՄեկ թիվ, վճարում է 35:1։Կարդալ ամբողջը → համար՝ b = 35, p = 1/37, q = 36/37, f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295։ Յուրաքանչյուր ստանդարտ խաղադրույք տալիս է Քելիի բացասական մաս, որովհետև յուրաքանչյուր խաղադրույք ունի բացասական առավելություն, և աճի համար օպտիմալ գումարը զրո է։ Քելիի չափանիշը ռուլետկայում ձևական եղանակ է ասելու այն, ինչ ասում է կազինոյի առավելության էջը․ չկա այնպիսի գումար, որով բացասական սպասումով խաղադրույքը կաճեցնի խաղային բյուջեն։
Որտեղ Քելին իսկապես կիրառելի էր
Շեղված անիվներով խաղացողներն ունեին առավելություն և գումարի չափի խնդիր։ Ջագերը, Գարսիա-Պելայոները և Էվդեմոնները բոլորը պետք է որոշեին, թե որքան դնեն իրենց չափած առավելության վրա․ չափազանց փոքր խաղադրույքները վատնում են առավելությունը, իսկ չափազանց մեծերը սնանկացման ռիսկ են ստեղծում, նախքան առավելությունը կդրսևորվի։ 30-ից 1 անգամ ընկնող բջջիսարքավորումԲջիջՌոտորի 37 համարակալված բաժանմունքներից մեկը։ Նաև՝ խորշ, գավաթ։Կարդալ ամբողջը → համար Քելին ասում է՝ յուրաքանչյուր պտույտին այդ թվի վրա դնել բյուջեի 0,57%-ը․ $10 000-ի դեպքում՝ մոտ $57 մեկ պտույտին, ինչը տալիս է մեկ պտույտում մոտ 0,054% բնորոշ աճ, կամ ×1,7՝ 1000 պտույտում։ Միջին աճը դրա կրկնապատիկն է՝ 0,11% մեկ պտույտում, բայց Քելին նպատակադրում է բնորոշ բյուջեն, ոչ թե միջինը, որը մի քանի բախտավոր շարքեր ուռճացնում են։ Կես Քելին սովորական գործնական ընտրությունն է, որովհետև առավելության գնահատականն անորոշ է։
Բնորոշը և միջինը
Բնորոշ և միջին բյուջեների տարբերությունը մեծ է։ Վերցնենք բջիջ, որն ընկնում է 25-ից 1 անգամ, ինչը 44% առավելություն է․ սա այն թիվն է, որը Թորփը նշում է իր սարքի համար։ Քելին դրա վրա դնում է բյուջեի 1,26%-ը։ 1000 պտույտից հետո բնորոշ բյուջեն աճել է մոտ 11,5 անգամ, իսկ միջինը, որը վեր են քաշում մի քանի շատ բախտավոր շարքեր, աճել է մոտ 249 անգամ։ Քելիից ավելի մեծ խաղադրույքները բարձրացնում են միջինը և իջեցնում բնորոշ արդյունքը․ Քելիի կրկնակի գումարի դեպքում բնորոշ բյուջեն միայն կրկնապատկվում է, իսկ Քելիի գումարի երկուսուկես անգամի դեպքում այն նվազում է, թեև յուրաքանչյուր խաղադրույք դեռ ունի 44% առավելություն։ Ավելի փոքր խաղադրույքները քիչ բան են արժենում․ կես գումարը պահպանում է աճի մոտ երեք քառորդը։
Երբ առավելությունը ենթադրություն է
Քելին ենթադրում է, որ առավելությունը հայտնի է։ Սեղանի մոտ այն գնահատվում է, և գնահատականը սովորաբար չափազանց բարձր է։ Էփսթայնի օրինակը, որը հիմնված է Թորփի 44%-ի վրա, մի թիվ է, որն ընկել է 49 անգամ կրկնակի զրոյովանիվԶրոՄիակ կանաչ բջիջը, որը չի ծածկվում ոչ մի հավասար վճարով, դյուժինի կամ սյունակի խաղադրույքով․ կազինոյի առավելության աղբյուրը։ Նաև՝ մեկ զրո, 0։Կարդալ ամբողջը → անիվի 1225 պտույտում․ 25-ից 1 անգամ, 44% առավելություն, Քելիի 1,26% գումար։ Բայց արդար կրկնակի զրոյով անիվն ունի 38 թիվ, և դրանցից ամենահաճախ ընկնողը 1225 պտույտում 49 կամ ավելի անգամ է ընկնում մոտավորապես ինը դեպքից մեկում։ Ցանկացած գրառման մեջ ամենահաճախ ընկնող թիվը նաև այն թիվն է, որին բախտն ամենից շատ է օգնել, ուստի նույնիսկ իսկապես շեղված բջիջը գրառման մեջ ավելի լավ է երևում, քան կա․ սա հաղթողի անեծքն է։ Եթե այդ բջիջն իրականում շեղված չէ, Քելիի գումարը պարզապես խաղադրույք է, որը միջինում կորցնում է 5,26%։ Սովորական պատասխաններն են՝ դնել Քելիի գումարի միայն մի մասը և շարունակել հաշվել, մինչև առավելությունը կդիմանա նոր գրառմանը (տե՛ս «Ինչպես հայտնաբերել ռուլետկայի անիվի շեղվածությունը»)։
Առավելություն ունեցող մարդիկ
Առավելությունն իմանալը նույնը չէ, ինչ այն լավ օգտագործելը։ Հաղանին և Դյուին (2016) 61 մարդու տվեցին $25-ական, որպեսզի կես ժամ խաղադրույք կատարեն մետաղադրամի վրա, որի մասին նրանց ասել էին, որ այն գերբով է ընկնում դեպքերի 60%-ում, իսկ շահումները սահմանափակված էին $250-ով (խաղացողներն այդ սահմանի մասին իմանում էին միայն դրան հասնելիս)։ Քելին ասում է՝ ամեն անգամ գերբի վրա դնել բյուջեի 20%-ը, և հեղինակները գնահատում են, որ 10–20% կայուն խաղադրույքները սահմանին կհասնեին դեպքերի մոտ 95%-ում։ Խաղացողների միայն 21%-ը հասավ դրան։ 28%-ը սնանկացավ, 61-ից 18-ն ամեն ինչ դրեցին մեկ նետման վրա, մոտ մեկ երրորդն ավարտեց իրենց սկզբնական $25-ից ցածր, իսկ միջին վճարումըֆինանսներՎճարումԱյն, ինչ վերադարձնում է շահած խաղադրույքը՝ նշված «X առ 1» ձևով՝ վերադարձված խաղադրույքի գումարից բացի։Կարդալ ամբողջը → $91 էր։ 61-ից միայն հինգն էին լսել Քելիի չափանիշի մասին։ Առավելության դեպքում խաղադրույքների չափն է որոշում՝ կպահպանեք այն, թե ոչ, իսկ առանց առավելության, ինչպես արդար անիվի դեպքում, ոչ մի չափ չի օգնում։
Ինչ օգտագործել փոխարենը
Առանց առավելության գումարի չափը բյուջեի հարց է, ոչ թե աճի․ գումար = այն, ինչ պատրաստ եք ծախսել մեկ պտույտին՝ ելնելով ժամային բյուջեից և սեղանի տեմպից (խաղային բյուջեի կառավարման էջ)։ Քելիի ներդրումը սովորական խաղացողի համար իր պատասխանի հստակությունն է՝ զրո։ Այն ամենը, ինչ դնում եք զրոյից ավելի, խաղի գինն է, որը դուք եք ընտրում, ոչ թե որևէ բանաձև է օպտիմալացնում։
Քելիի մասնակի կիրառման և «փողի կառավարման» մասին
«Քելի ռուլետկայի համար» անվամբ վաճառվող համակարգերը, որոնք խորհուրդ են տալիս յուրաքանչյուր խաղադրույքին դնել բյուջեի ֆիքսված տոկոսը, հաստատուն խաղադրույքռազմավարությունՀաստատուն խաղադրույքԱմեն պտույտին նույն գումարի խաղադրույք։ Այն ելակետը, որի հետ համեմատվում է յուրաքանչյուր պրոգրեսիա։Կարդալ ամբողջը → են նվազող գումարով։ Դրանք կորցնում են շրջանառությանֆինանսներՇրջանառությունԽաղաշրջանի կամ ժամանակահատվածի ընթացքում խաղադրույք արված ամբողջ գումարը՝ հաշվի առնելով նորից խաղադրույք դարձած շահումները։ Նաև՝ handle, action։Կարդալ ամբողջը → 2,70%-ը, և քանի որ գումարը նվազում է կորուստներին զուգընթաց, դրանք սնանկացումը դարձնում են դանդաղ, ոչ թե քիչ հավանական։ Սա բյուջեն երկարացնելու խելամիտ եղանակ է, բայց Քելի չէ, որն ասելու էր՝ դադարեցրեք։
Բանաձև
Հարցեր
Միայն շեղված անիվիցլաբորատորիաՇեղված անիվԱնիվ, որի ֆիզիկական թերությունները որոշ բջիջներ դարձնում են 1/37-ից ավելի հավանական։ Հազվադեպ է և հայտնաբերվում է միայն հազարավոր գրանցված պտույտներով։Կարդալ ամբողջը → կամ ժամանակաչափման սարքից ստացված չափված առավելության դեպքում։ Արդար անիվի վրա՝ ոչ։
Որովհետև առավելության գնահատականն ունի սխալ, և չափազանց մեծ խաղադրույքներն ավելի թանկ են նստում, քան չափազանց փոքրերը։ Կես Քելին տալիս է աճի երեք քառորդը դիսպերսիայիմաթեմատիկաԴիսպերսիաՉափ, թե որքան լայն են արդյունքները ցրված սպասվող արժեքի շուրջ։ Մեծ է մեկ թվի խաղադրույքի համար, փոքր՝ հավասար վճարով խաղադրույքների համար։Կարդալ ամբողջը → մեկ քառորդով։
Ոչ։ Քելին օպտիմալացնում է աճը, երբ առավելություն կա։ Խաղային բյուջեի կառավարումը վերահսկում է ծախսը, երբ այն չկա։
Մաթեմատիկական զվարճանքներ
Նախ փորձեք ինքներդ լուծել։ Յուրաքանչյուր լուծում ծալված է․ բացեք այն, երբ պատրաստ լինեք։
Թորփի և Շենոնի կանխատեսող սարքը տալիս էր մոտ 44% առավելություն։ Մեկ կանխատեսված թվի վրա Քելին ասում է խաղադրույք անել խաղային բյուջեիֆինանսներԽաղային բյուջեԽաղի համար առանձնացված ամբողջ գումարը։ Խաղային բյուջեի կառավարումը որոշելն է, թե դրա որ մասը վտանգել մեկ խաղադրույքում և մեկ խաղաշրջանում։Կարդալ ամբողջը → 1,26%-ը։ Իսկ ի՞նչ կլիներ, եթե նույն 44% առավելությունը ստացվեր հինգ հարևան թվերի վրա բաշխված մեկ խաղադրույքով։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Այդ դեպքում Քելին ասում է բյուջեի 7,1%, և բյուջեն աճում է գրեթե վեց անգամ ավելի արագ․ 1000 խաղադրույքում մոտ 1,25 միլիոն անգամ՝ մոտ 11,5 անգամի դիմաց։
44% առավելությամբ մեկ թվի խաղադրույքըխաղադրույքՄեկ թվի խաղադրույքՄեկ թիվ, վճարում է 35:1։Կարդալ ամբողջը → շահում է 0,04 հավանականությամբ, քանի որ 36 × 0,04 = 1,44։ Քելիի գումարն առավելությունն է՝ բաժանած շանսերին․ 0,44/35 = 1,26%։ Մեկ խաղադրույքի բնորոշ աճն է 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, ուստի 1000 խաղադրույքը բյուջեն բազմապատկում է մոտ e^2,44 ≈ 11,5 անգամ։
Մեկ գումարը բաշխեք հինգ թվի վրա, և խաղադրույքը կշահի 0,20 հավանականությամբ և կվճարի 36/5՝ 1-ի դիմաց, այսինքն՝ 6,2 առ 1․ առավելությունը դեռ 44% է, քանի որ 0,2 × 7,2 = 1,44։ Քելիի գումարը դառնում է 0,44/6,2 = 7,10%, իսկ մեկ խաղադրույքի աճը՝ 0,01404, մոտ 5,75 անգամ ավելի։ 1000 խաղադրույքում դա e^14,04 է՝ մոտ 1,25 միլիոն։
Առավելությունը նույնն է, տատանումներն են ավելի փոքր։ Հինգից մեկ անգամ շահող խաղադրույքը կարող է կրել բյուջեի ավելի մեծ բաժին՝ առանց սնանկացման վտանգի, և Քելիի աճը պարգևատրում է դա։ Թորփը (1984) օրինակն օգտագործում է ցույց տալու համար, թե ինչու էին կանխատեսող խաղացողները խաղադրույք անում սեկտորներիանիվՍեկտորԱնիվի վրա իրար հաջորդող բջիջների աղեղ՝ ի տարբերություն խաղադաշտի խմբի։Կարդալ ամբողջը → վրա։ Գործնականում հինգ հարևաններիխաղադրույքՀարևաններԹիվը և անիվի վրա դրա երկու կողմի երկուական բջիջները՝ հինգ մեկ թվի խաղանիշ։Կարդալ ամբողջը → առավելությունը մի փոքր ավելի փոքր է, քան ամենալավ առանձին թվինը (տե՛ս «Առավելության խաղ ռուլետկայում»)։
Խաղացողը գտել է երկու հարևան բջիջսարքավորումԲջիջՌոտորի 37 համարակալված բաժանմունքներից մեկը։ Նաև՝ խորշ, գավաթ։Կարդալ ամբողջը →, որոնցից յուրաքանչյուրը դուրս է գալիս 25-ից 1 անգամ՝ 37-ից 1-ի փոխարեն։ Խաղադրույք անե՞լ դրանց միջև սպլիտիխաղադրույքՍպլիտԵրկու հարևան թիվ, վճարում է 17:1։Կարդալ ամբողջը → վրա 17 առ 1, թե՞ յուրաքանչյուր թվի վրա առանձին՝ մեկ թվի խաղադրույքով։ Որքա՞ն է ասում Քելին, և որքա՞ն արագ է աճում բյուջեն՝ համեմատած մեկ այդպիսի բջջի հետ։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Տարբերություն չկա․ բյուջեի 2,59%-ը սպլիտի վրա կամ 1,29%-ը յուրաքանչյուր թվի վրա։ Բնորոշ բյուջեն 1000 պտույտում աճում է մոտ 155 անգամ՝ մեկ բջջի դեպքում 11,5 անգամի դիմաց։
Սպլիտը շահում է 2/25 = 0,08 հավանականությամբմաթեմատիկաՀավանականությունԱրդյունքի հնարավորությունը՝ 0-ից 1 կամ 0%-ից 100%։ Մեկ թիվ՝ 1/37 = 2,70%։Կարդալ ամբողջը → և վճարում է 17 առ 1, ուստի խաղադրույք արված յուրաքանչյուր միավորիֆինանսներՄիավորԲազային խաղադրույքի գումարը, որով աշխատում է համակարգը կամ խաղացողը։ Պրոգրեսիաները նկարագրվում են միավորներով, որպեսզի կիրառելի լինեն ցանկացած սեղանի մոտ։Կարդալ ամբողջը → դիմաց վերադարձնում է 18 × 0,08 = 1,44․ առավելությունը 44% է, նույնը, ինչ մեկ շեղված բջջինը։ Քելիի գումարն առավելությունն է՝ բաժանած շանսերին․ 0,44/17 = 2,59%։
1,29%-ական երկու մեկ թվի խաղադրույքը տալիս են ճիշտ նույն արդյունքները։ Երբ թվերից որևէ մեկը դուրս է գալիս, մեկ խաղանիշըֆինանսներԽաղանիշՖիքսված գումար ներկայացնող նիշ, որը դրվում է խաղադաշտի վրա՝ խաղադրույք կատարելու համար։ Նաև՝ «check»։Կարդալ ամբողջը → շահում է 35 առ 1, իսկ մյուսը կորչում է՝ զուտ 34 × 1,29% = բյուջեի 44%-ը, ինչպես վճարում է սպլիտը․ երբ ոչ մեկը դուրս չի գալիս, երկուսն էլ կորչում են։
Մեկ պտույտի աճը 0,00505 է՝ մեկ բջջի 0,00244-ի դիմաց, ուստի 1000 պտույտում բնորոշ բյուջեն աճում է e^5,046 ≈ 155 անգամ, այլ ոչ թե e^2,44 ≈ 11,5 անգամ։ Երկու լավ թիվն արժեն շատ ավելին, քան մեկի կրկնապատիկը, և հենց դրա համար են շեղվածություն որոնող խաղացողները խաղադրույք անում թվերի խմբերի վրա։ Թորփը (1984) կատարում է նույն համեմատությունը։
Մի քիչ հումոր
Ռուլետկայում աճի համար օպտիմալ գումարը մի թիվ է, որը բոլորն արդեն գիտեն։
Աղբյուրներ
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”