Խնդիր․ ծննդյան օրերի անիվը
Քանի՞ պտույտից հետո որևէ թիվ կկրկնվի։ Շատ ավելի քիչ, քան մարդկանց մեծ մասը կարծում է։
Ծննդյան օրերի խնդիրը 37 բջջովսարքավորումԲջիջՌոտորի 37 համարակալված բաժանմունքներից մեկը։ Նաև՝ խորշ, գավաթ։Կարդալ ամբողջը → անիվի վրա․ ընդամենը 8 պտույտից հետո կեսից ավելի հավանական է, որ որևէ թիվ արդեն երկու անգամ հայտնվել է։ Խաղացողները կրկնությունները համարում են օրինաչափություններ, մինչդեռ դրանք արդար անիվի սպասելի վարքն են։
Խնդիրը
Պտտեք արդար եվրոպական անիվը։ Քանի՞ պտույտից հետո այն հավանականությունըմաթեմատիկաՀավանականությունԱրդյունքի հնարավորությունը՝ 0-ից 1 կամ 0%-ից 100%։ Մեկ թիվ՝ 1/37 = 2,70%։Կարդալ ամբողջը →, որ առնվազն երկու պտույտ ցույց են տվել նույն թիվը, կգերազանցի կեսը։ Խաղացողների մեծ մասը կռահում է մոտ 18 կամ 19՝ 37-ի կեսը։ Պատասխանը 8 է։
Լուծումը
Հաշվեք առանց կրկնության հավանականությունը և հանեք մեկից։ k պտույտից հետո p(բոլորը տարբեր) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)։ k = 8-ի դեպքում՝ 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, ուստի p(որևէ կրկնություն) ≈ 0,56։ k = 14-ի դեպքում այն 0,93 է, k = 20-ի դեպքում՝ 0,996։ Ինտուիցիան սխալվում է, որովհետև պտույտների զույգերի թիվն աճում է k²-ի պես, և ցանկացած զույգ կարող է համընկնել։
Ինչու է սա կարևոր սեղանի մոտ
Վերջին 20 թվերի ցուցատախտակը գրեթե միշտ ցույց է տալիս առնվազն մեկ կրկնություն, հաճախ՝ երկու կամ երեք։ Խաղացողները տեսնում են «17-ը տասը պտույտում երկու անգամ ընկավ» և եզրակացնում, որ 17-ը տաք է․ ծննդյան օրերի թվաբանությունն ասում է, որ տասը պտույտում կրկնություն լինում է դեպքերի 74%-ում, և կրկնված թիվը պատահական է։ Օրինաչափությունն իրական է, իմաստը՝ ոչ։
Լրացուցիչ խնդիր
Քանի՞ պտույտ է պետք, որպեսզի կոնկրետ թիվը, ասենք 17-ը, երկու անգամ հայտնվի։ Սա այլ հարց է՝ շատ ավելի մեծ պատասխանով․ սպասման միջին ժամանակը 74 պտույտ է, իսկ 20 պտույտում երկու 17 ընկնելու հավանականությունը մոտ 10% է։ «Որևէ թիվ կրկնվում է» (8 պտույտ) և «այս թիվը կրկնվում է» (74 պտույտ) դեպքերի տարբերությունը հենց այն տարբերությունն է, որը կա հետագայում նկատված օրինաչափության և նախապես արված կանխատեսման միջև։
Փորձեք
Գործարկեք Ռուլետկայի սիմուլյատորը տասը պտույտով և նայեք պատմությանը։ Սովորաբար կրկնություն կլինի։ Գործարկեք նորից։ Կրկնված թիվն այլ կլինի։ Արեք սա տասն անգամ, և կտեսնեք ծննդյան օրերի խնդիրըմաթեմատիկաԾննդյան օրերի խնդիրՔանի մարդ է պետք, որպեսզի երկուսը հավանաբար ունենան նույն ծննդյան օրը, կամ քանի պտույտ, որպեսզի թիվը հավանաբար կրկնվի։ 37 բջջով անիվի վրա 8 պտույտը բավական է կեսից ավելի հավանականության համար։Կարդալ ամբողջը →․ արեք հազար անգամ (սիմուլյատորները կարող են), և կչափեք այն։
Բանաձև
Հարցեր
Ճիշտ նույնը՝ 365 օրվա փոխարեն 37 բջջով։ Ծննդյան օրերի համար 23 մարդը տալիս է 50%, անիվի համար 8 պտույտը՝ 56%։
50%՝ մոտ 19 պտույտից հետո։ Դեռ սովորական երևույթ է։
Ոչ։ Մեկ անիվի հազարավոր պտույտները կարող են դա ցույց տալ, մեկ կրկնությունը՝ երբեք։
Մաթեմատիկական զվարճանքներ
Նախ փորձեք ինքներդ լուծել։ Յուրաքանչյուր լուծում ծալված է․ բացեք այն, երբ պատրաստ լինեք։
Ամերիկյան անիվի կողքի ցուցատախտակը ցույց է տալիս վերջին 16 պտույտները։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ դրա վրա ոչ մի թիվ երկու անգամ չի հայտնվում։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Մոտ 2,5%․ մոտավորապես 40 ցուցատախտակից 39-ը ցույց է տալիս առնվազն մեկ կրկնություն։
Գնացեք պտույտ առ պտույտ։ Առաջին պտույտը կարող է լինել ցանկացած։ Երկրորդը պետք է չհամընկնի դրա հետ՝ 38-ից 37 հնարավորություն։ Երրորդը պետք է չհամընկնի երկուսի հետ՝ 38-ից 36։ Տասնվեցերորդը պետք է չհամընկնի տասնհինգ թվի հետ՝ 38-ից 23։
Բազմապատկեք՝ 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246։
Առանց կրկնության ցուցատախտակն է հազվադեպը։ Կրկնությամբ ցուցատախտակը ոչինչ չի ասում անիվի մասին։
Եվրոպական անիվի տասը պտույտում որքա՞ն է հավանականությունը, որ 17-ը դուրս գա ճիշտ հինգ անգամ։ Որ որևէ թիվ, ցանկացած թիվ, դուրս գա հինգ կամ ավելի անգամ։ Եվ որ չորս պտույտում որևէ թիվ դուրս գա առնվազն երեք անգամ։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան 17-ը ճիշտ հինգ անգամ՝ 315 576-ից 1։ Որևէ թիվ հինգ կամ ավելի անգամ՝ մոտ 8333-ից 1։ Որևէ թիվ չորս պտույտում երեք կամ ավելի անգամ՝ 349-ից 1։
17-ը հինգ անգամ․ ընտրեք տասը պտույտներից որ հինգը՝ 252 եղանակ, յուրաքանչյուրը (1/37)⁵ × (36/37)⁵ հավանականությամբ։ Միասին՝ 315 576-ից 1։
Որևէ թիվ․ 37 թվերից յուրաքանչյուրը հինգ կամ ավելի անգամ դուրս գալու 308 325-ից 1 հավանականություն ունի, ինչը տալիս է 308 325-ից 37, կամ 8333-ից 1։ Հինգական անգամ դուրս եկած երկու թվի հազվադեպ դեպքը հաշվվում է երկու անգամ, բայց այն հանելն այս ճշգրտությամբ ոչինչ չի փոխում։
Չորս պտույտում երեք անգամ․ մեկ թվի համար 37⁴ հնարավոր արդյունքներից 4 × 36 + 1 = 145-ը, 37 թվերից որևէ մեկի համար՝ 145/37³ = 349-ից 1։
Կրկնակի զրոյովանիվԶրոՄիակ կանաչ բջիջը, որը չի ծածկվում ոչ մի հավասար վճարով, դյուժինի կամ սյունակի խաղադրույքով․ կազինոյի առավելության աղբյուրը։ Նաև՝ մեկ զրո, 0։Կարդալ ամբողջը → անիվի համար համապատասխան թվերն են 359 275-ից 1, 9243-ից 1 և 368-ից 1։ «17»-ի և «որևէ թվի» միջև տարբերությունը կրկին ծննդյան օրերի խնդիրնմաթեմատիկաԾննդյան օրերի խնդիրՔանի մարդ է պետք, որպեսզի երկուսը հավանաբար ունենան նույն ծննդյան օրը, կամ քանի պտույտ, որպեսզի թիվը հավանաբար կրկնվի։ 37 բջջով անիվի վրա 8 պտույտը բավական է կեսից ավելի հավանականության համար։Կարդալ ամբողջը → է․ զարմանալու 37 եղանակ կա։
Մի քիչ հումոր
Ինչ-որ բան շուտ է կրկնվում։ Այդ ինչ-որ բանը պատահական է։
Աղբյուրներ
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. «Ask the Wizard», ռուլետկայի մասին հարցեր։