Սնանկացման ռիսկ
Նպատակին հասնելուց առաջ ամբողջ խաղային բյուջեն կորցնելու հավանականությունը։
Հավասար վճարով խաղադրույքների դեպքում սնանկացման ռիսկը հետևում է խաղացողի սնանկացման բանաձևին։ $500 խաղային բյուջեով, $10 խաղադրույքներով և $600 նպատակով դուք նպատակին հասնում եք դեպքերի մոտ 57%-ում, իսկ մնացածում սնանկանում եք։
Հարցը
Ունեք a միավորֆինանսներՄիավորԲազային խաղադրույքի գումարը, որով աշխատում է համակարգը կամ խաղացողը։ Պրոգրեսիաները նկարագրվում են միավորներով, որպեսզի կիրառելի լինեն ցանկացած սեղանի մոտ։Կարդալ ամբողջը → խաղային բյուջեֆինանսներԽաղային բյուջեԽաղի համար առանձնացված ամբողջ գումարը։ Խաղային բյուջեի կառավարումը որոշելն է, թե դրա որ մասը վտանգել մեկ խաղադրույքում և մեկ խաղաշրջանում։Կարդալ ամբողջը → և ուզում եք հասնել a + b միավորի՝ ամեն անգամ մեկ միավոր դնելով հավասար վճարով խաղադրույքիխաղադրույքՀավասար վճարով խաղադրույքԿարմիր/սև, կենտ/զույգ, բարձր/ցածր։ 18 թիվ, վճարում է 1:1։Կարդալ ամբողջը → վրա, որի շահելու հավանականությունըմաթեմատիկաՀավանականությունԱրդյունքի հնարավորությունը՝ 0-ից 1 կամ 0%-ից 100%։ Մեկ թիվ՝ 1/37 = 2,70%։Կարդալ ամբողջը → p = 18/37 է, իսկ պարտվելունը՝ q = 19/37։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ կհասնեք նպատակին՝ նախքան զրոյին հասնելը։ Պատասխանը գտել են Պասկալը, Ֆերման և Հյույգենսը 1650-ական թվականներին, և դա հավանականությունների տեսության ամենահին արդյունքներից մեկն է։
Խաղացողի սնանկացման բանաձևը
P(նպատակին հասնել) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)։ Սնանկացման ռիսկըմաթեմատիկաՍնանկացման ռիսկԱմբողջ խաղային բյուջեն կորցնելու հավանականությունը՝ նախքան նպատակին կամ պտույտների թվին հասնելը։Կարդալ ամբողջը → մեկ հանած այդ թիվն է։ q/p = 19/18 ≈ 1,0556 դեպքում հարաբերությունն աճում է էքսպոնենցիալորեն՝ միավորների քանակին զուգընթաց, ուստի բանաձևը խստորեն պատժում է փոքր միավորները․ որքան շատ խաղադրույք է պետք նպատակին հասնելու համար, այնքան շատ անգամ է ճանապարհին վճարվում 2,70%-ի տուրքը։
Ինչպես կարդալ
Փոքր միավորները վնասում են։ $500-ը $10 խաղադրույքներով կրկնապատկելու փորձը հաջողվում է դեպքերի 6%-ում, իսկ $500-ի մեկ խաղադրույքով՝ 48,6%-ում։ Համարձակ խաղը՝ ավելի քիչ ու ավելի մեծ խաղադրույքներ, առավելագույնի է հասցնում նպատակին հասնելու հավանականությունը բացասական սպասումով խաղում, որովհետև նվազագույնի է հասցնում առավելության կիրառման անգամների թիվը։ Այն նաև առավելագույնի է հասցնում ձեզ հետ կատարվողի դիսպերսիանմաթեմատիկաԴիսպերսիաՉափ, թե որքան լայն են արդյունքները ցրված սպասվող արժեքի շուրջ։ Մեծ է մեկ թվի խաղադրույքի համար, փոքր՝ հավասար վճարով խաղադրույքների համար։Կարդալ ամբողջը → և արագ ավարտում երեկոն։ Թեորեմը կոչվում է «համարձակ խաղն օպտիմալ է», և այն ապացուցել են Դուբինսը և Սևիջը 1965 թվականին։
Որտեղից սկսվեց խնդիրը
Հարցն ավելի հին է, քան ռուլետկան։ 1656 թվականին Պասկալը Ֆերմային խնդիր առաջադրեց․ երկու խաղացող նետում են երեք զառ, յուրաքանչյուրը սկսում է 12 նիշով, 11-ի նետումը մեկ նիշ տեղափոխում է մի ուղղությամբ, 14-ինը՝ մյուս։ Երկուսն էլ լուծեցին այն, իսկ Հյույգենսը, որն այդ մասին իմացավ մաթեմատիկոս Պիեռ դը Կարկավիի նամակից, 1657 թվականին այն տպագրեց որպես հավանականությունների մասին առաջին գրքի հինգերորդ խնդիր՝ պատասխանով և առանց ապացույցի։ Տասնմեկը կարելի է նետել 27 եղանակով, իսկ տասնչորսը՝ միայն 15, ուստի յուրաքանչյուր նիշ 14 դեպքից 9-ում տեղափոխվում է առաջին խաղացողի օգտին, և վերևի բանաձևը՝ յուրաքանչյուրի 12 նիշով, ցույց է տալիս, որ նրա՝ ամեն ինչ շահելու հավանականությունը մոտ 1157 անգամ ավելի մեծ է, քան ամեն ինչ կորցնելունը։ 2,70% առավելությունը շատ ավելի փոքր է, բայց նույն բանաձևը ցույց է տալիս, թե ինչ է այն անում բազմաթիվ խաղադրույքների ընթացքում։
Իրական համարձակ խաղադրույք
2004 թվականի ապրիլին երիտասարդ անգլիացի Էշլի Ռևելը վաճառեց իր ունեցած գրեթե ամեն ինչ, նույնիսկ հագուստը, և $135 300 տարավ Լաս Վեգասի Plaza։ Մի քանի փոքր խաղադրույքից հետո նա ամբողջ գումարը մեկ անգամ դրեց կարմիրիխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը → վրա։ ԳնդիկնսարքավորումԳնդիկՓոքր գնդիկը, որը նետվում է ուղու երկայնքով ռոտորին հակառակ։ Ժամանակակից գնդիկներն իվորինից կամ տեֆլոնից են, 18–21 մմ։Կարդալ ամբողջը → ընկավ կարմիր 7-ի վրա, և նա դուրս եկավ $270 600-ով։ Կրկնակի զրոյովանիվԶրոՄիակ կանաչ բջիջը, որը չի ծածկվում ոչ մի հավասար վճարով, դյուժինի կամ սյունակի խաղադրույքով․ կազինոյի առավելության աղբյուրը։ Նաև՝ մեկ զրո, 0։Կարդալ ամբողջը → անիվի վրա այդ մեկ պտույտը 47,37% հավանականություն էր և նրան միջինում արժեցավ $7121՝ 5,26% առավելությունը մեկ խաղադրույքում։ Եթե գումարը բաշխվեր $10-անոց խաղադրույքների վրա, նույն նպատակը գրեթե անհույս կլիներ։ Համարձակ խաղը խաղադրույքը լավ չի դարձնում, այն դարձնում է հնարավորինս կարճ։
Սնանկացման ռիսկն առանց նպատակի
Եթե պարզապես խաղում եք մինչև սնանկանալը կամ դադարում եք N պտույտից հետո, հարցը դառնում է․ «որքա՞ն է հավանականությունը, որ իմ խաղային բյուջեն N պտույտի ընթացքում կհասնի զրոյի»։ Ընդհանուր N-ի համար փակ բանաձև չկա, բայց այս կայքի սիմուլյատորները հաշվում են այն․ $500 խաղային բյուջեն $10-ով կարմիրի վրա 100 պտույտում գրեթե երբեք չի սնանկանում (1%-ից պակաս), 500 պտույտում սնանկանում է դեպքերի մոտ 9%-ում, իսկ 5000-ում՝ մոտ 95%-ում։ Առանց կանգառի կանոնի հավանականությունը ձգտում է 100%-ի, և դա կազինոյի առավելությանմաթեմատիկաԿազինոյի առավելությունՅուրաքանչյուր խաղադրույքի գումարի այն մասը, որը կազինոն միջինում պահում է իրեն․ եվրոպական ռուլետկայում՝ 2,70%։Կարդալ ամբողջը → երկարաժամկետ տարբերակն է։
- p10 −$500
- p25 −$500
- մեդիան −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Զուգամիտումը երկար ժամանակահատվածում․ մեծ թվերի օրենքը ռուլետկայում
Որքան երկար և որքան առաջ
Երկու այլ դասական արդյունք պատասխանում են այն հարցերին, որոնք խաղացողներն իրականում տալիս են։ Առանց նպատակի հաստատուն հավասար վճարով խաղադրույքները միջինում տևում են 37 պտույտ խաղային բյուջեի յուրաքանչյուր միավորի համար եվրոպական անիվի վրա և 19՝ ամերիկյանի վրա, որովհետև յուրաքանչյուր պտույտ միջինում վերցնում է միավորի 1/37-ը (ամերիկյան անիվի վրա՝ 1/19-ը)․ 100 միավորը միջինում տևում է 3700 պտույտ, թեև այդպիսի խաղաշրջանների կեսն ավարտվում է 3134 պտույտի ընթացքում (տե՛ս «Խաղաշրջանի տևողությունը և արժեքը»)։ Եվ որքան էլ մեծ լինի խաղային բյուջեն, եվրոպական անիվի վրա երբևէ k միավոր առաջ լինելու հավանականությունը (18/19)ᵏ է։ Դա 95% է մեկ միավորի և 58%՝ տասի համար, բայց ոչ մի խաղային բյուջե, որքան էլ խորը լինի, հավասար շանս չի տալիս երբևէ 13 միավոր առաջ լինելու․ ամերիկյան անիվի վրա հավանականությունը (9/10)ᵏ է և 7 միավորի դեպքում իջնում է կեսից ցածր։
Խաղաշրջանի տևողությունը և արժեքըԱմերիկյան ռուլետկայի անիվը և կանոնները
Խաղային բյուջե՝ հիսուն-հիսուն շանսի համար
Շրջեք հարցը․ որքա՞ն պետք է բերեք, որպեսզի առնվազն հիսուն-հիսուն շանս ունենաք որոշակի գումար շահելու, նախքան ամեն ինչ կորցնելը։ Փոքր շահումի համար՝ ոչ շատ։ Ավելի մեծի համար անհրաժեշտ խաղային բյուջեն կտրուկ աճում է, և որոշակի կետից հետո ոչ մի խաղային բյուջե բավարար չէ, որովհետև նույնիսկ անսահմանը հիսուն-հիսունից պակաս շանս է տալիս երբևէ այդքան առաջ լինելու։ Թեյլորը (2021) դա այլ կերպ է ձևակերպում․ ամերիկյան անիվի վրա 100 միավորի հասնելու հիսուն-հիսուն շանս ունենալու համար պետք է սկսել 94-ով՝ ռիսկի դնելով 94-ը 6 շահելու համար։ Եվրոպական անիվի վրա ձեզ անհրաժեշտ կլիներ 88։
Գործնական դասը
Որոշեք, թե ինչի եք ձգտում։ Եթե նպատակը որոշակի շահում է, խաղադրույք կատարեք մեծ գումարներով և քիչ անգամ։ Եթե նպատակը երկար երեկո է, խաղադրույք կատարեք փոքր գումարներով և ընդունեք, որ առավելությունը կվերցնի մեծ շրջանառությանֆինանսներՇրջանառությունԽաղաշրջանի կամ ժամանակահատվածի ընթացքում խաղադրույք արված ամբողջ գումարը՝ հաշվի առնելով նորից խաղադրույք դարձած շահումները։ Նաև՝ handle, action։Կարդալ ամբողջը → իր 2,70%-ը։ Եթե նպատակը երկուսն էլ է, ինչ-որ բան պետք է զիջել, և սովորաբար դա նպատակն է։
Բանաձև
Հարցեր
ՄարտինգեյլըռազմավարությունՄարտինգեյլՊրոգրեսիա, որը յուրաքանչյուր կորստից հետո կրկնապատկում է խաղադրույքը։ Թե ինչ է այն անում և ինչ՝ ոչ, տե՛ս «Ռազմավարություն» բաժնում։Կարդալ ամբողջը → նվազեցնում է այն կարճ խաղաշրջանների համար և կտրուկ մեծացնում երկարների համար։ Ավելի մեծ միավորով հաստատուն խաղադրույքնռազմավարությունՀաստատուն խաղադրույքԱմեն պտույտին նույն գումարի խաղադրույք։ Այն ելակետը, որի հետ համեմատվում է յուրաքանչյուր պրոգրեսիա։Կարդալ ամբողջը → է այն նվազեցնելու ազնիվ եղանակը։
Վերևի բանաձևը հավասար վճարով խաղադրույքների համար է։ Մեծ դիսպերսիայով խաղադրույքների դեպքում փոքր գումարներով սնանկացումն ավելի հավանական է, և նպատակին հասնում են ավելի անհավասարաչափ․ օգտագործեք հաշվիչը։
Նպատակի ուղղությամբ յուրաքանչյուր քայլ մի փոքր ավելի քիչ հավանական է, քան սնանկացման ուղղությամբ յուրաքանչյուր քայլ․ հարաբերությունը կուտակվում է քայլերի քանակի ընթացքում։
Մաթեմատիկական զվարճանքներ
Նախ փորձեք ինքներդ լուծել։ Յուրաքանչյուր լուծում ծալված է․ բացեք այն, երբ պատրաստ լինեք։
Դուք ունեք $100 և ուզում եք ունենալ $1000՝ խաղադրույք անելով միայն կարմիրիխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը → վրա։ Առաջին պլան․ խաղադրույք անել $1-ական։ Երկրորդ պլան․ խաղադրույք անել ձեր ամբողջ գումարը, մինչև անցնեք $500-ը, ապա՝ ճիշտ այնքան, որքան պետք է $1000-ին հասնելու համար։ Ո՞ր պլանն է ավելի լավ, և որքանո՞վ։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Երկրորդը՝ մեծ տարբերությամբ։ Այն $1000-ին հասնում է դեպքերի մոտ 9,0%-ում՝ արդար 10%-ին մոտ։ Առաջին պլանը հաջողվում է 10²²-ից մոտ 7 անգամ։
Արդար խաղումմաթեմատիկաԱրդար խաղԽաղ, որում ոչ մի կողմ առավելություն չունի․ յուրաքանչյուր խաղադրույքի սպասվող արժեքը զրո է։Կարդալ ամբողջը → $100-ից $1000-ին կհասնեիք տասից մեկ անգամ՝ ինչ էլ անեիք, որովհետև ձեր գումարի միջին արժեքը մնում է $100։
Կազինոյի առավելությունը վերցնում է յուրաքանչյուր խաղադրույքի 2,70%-ը, ուստի որքան քիչ եք ընդհանուր առմամբ խաղադրույք անում, այնքան մոտ եք մնում տասից մեկին։ Երկրորդ պլանը հարցը լուծում է մի քանի խաղադրույքով․ $100-ը դառնում է $200, $400, $800, իսկ հետո $200-ը բավական է։ Այն հաջողվում է դեպքերի մոտ 9,0%-ում։ Առաջին պլանը հազարավոր խաղադրույքներ է պահանջում, մինչև ընթացքն ավարտվի, և առավելությունը, որը յուրաքանչյուր խաղադրույքի վրա փոքր է, գումարվելով հասցնում է գրեթե անխուսափելի սնանկացման։
Սա Դուբինսի–Սևիջի արդյունքն է իր ամենապարզ ձևով (Էփսթայն, 2013)․ կազինոյին ձեռնտու խաղում խաղադրույք արեք այնքան, որքան պետք է, և այնքան քիչ անգամ, որքան կարող եք։
Դուք ունեք $500 և ուզում եք ունենալ $1000՝ կանգ առնելով, հենց որ դրան հասնեք։ Ընտրում եք մեկ տեսակի խաղադրույք և կրկնում այն, մինչև այն մեկ անգամ շահի կամ գումարը սպառվի։ Ո՞ր տեսակն է տալիս լավագույն հնարավորությունը։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Մեկ $500 խաղադրույք կարմիրի վրա՝ 48,6%։ Ցանկացած պլան, որը գումարը բաշխում է ավելի փոքր խաղադրույքների վրա, ավելի վատ արդյունք է տալիս։
Յուրաքանչյուր գումար ընտրեք այնպես, որ մեկ շահումը բավական լինի․ $30-ը մեկ թվի խաղադրույքիխաղադրույքՄեկ թվի խաղադրույքՄեկ թիվ, վճարում է 35:1։Կարդալ ամբողջը → վրա շահում է $1050, $60-ը սպլիտիխաղադրույքՍպլիտԵրկու հարևան թիվ, վճարում է 17:1։Կարդալ ամբողջը → վրա՝ $1020, և այդպես շարունակ։ Ապա հաշվեք հավանականությունը, որ գոնե մեկ խաղադրույք կշահի, մինչև գումարը սպառվի։ Տասնվեց $30 մեկ թվի խաղադրույքները բոլորը վրիպում են (36/37)¹⁶ = 64,5% հավանականությամբ, ուստի $1000-ին հասնում են դեպքերի 35,5%-ում։
Աղյուսակը ցույց է տալիս յուրաքանչյուր խաղադրույքը։ Կարմիրն ամենալավն է, որովհետև նպատակին հասնում է մեկ խաղադրույքով, ուստի առավելությունը վճարվում է մեկ անգամ՝ $500-ի վրա։ ՍիքսլայնըխաղադրույքՍիքսլայնԵրկու հարևան տողի վեց թիվ, վճարում է 5:1։ Ֆրանսերեն՝ sixain։Կարդալ ամբողջը → երկրորդն է, որովհետև դրան պետք է ընդամենը երեք խաղադրույք։ Մեկ դյուժինիխաղադրույքԴյուժին1–12, 13–24 կամ 25–36, վճարում է 2:1։Կարդալ ամբողջը → խաղադրույքն ամենավատն է՝ 12/37 հավանականությամբ․ նույնիսկ $250 միավորներովֆինանսներՄիավորԲազային խաղադրույքի գումարը, որով աշխատում է համակարգը կամ խաղացողը։ Պրոգրեսիաները նկարագրվում են միավորներով, որպեսզի կիրառելի լինեն ցանկացած սեղանի մոտ։Կարդալ ամբողջը → խաղալով, մինչև ունենաք $1000 կամ ավելի, դյուժինը նպատակին հասնում է դեպքերի միայն 46,4%-ում։
Բոլմանը (2024) նույն աղյուսակը կազմում է ամերիկյան անիվի համար։ Նրա դյուժինի տողում վրիպակ կա․ այնտեղ պետք է լինի 12/38 = 31,6%։
խաղադրույքգումար × խաղադրույքների թիվ$1000-ին հասնելու հավանականությունՄեկ թվի խաղադրույք$30 × 1635,5%Սպլիտ$60 × 835,9%Սթրիթ$90 × 534,5%Անկյուն$125 × 436,7%Սիքսլայն$166, $166, $16841,2%Դյուժին$500 × 132,4%Կարմիր$500 × 148,6%Դուք մեկ միավոր եք խաղադրույք անում կարմիրի վրա՝ պտույտ առ պտույտ, խաղային բյուջեովֆինանսներԽաղային բյուջեԽաղի համար առանձնացված ամբողջ գումարը։ Խաղային բյուջեի կառավարումը որոշելն է, թե դրա որ մասը վտանգել մեկ խաղադրույքում և մեկ խաղաշրջանում։Կարդալ ամբողջը →, որը երբեք չի սպառվում։ Առաջին պտույտից հետո դուք կա՛մ մեկ միավոր շահած եք, կա՛մ մեկ միավոր կորցրած։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երբևէ նորից ճիշտ զրոյական արդյունքի կհասնեք։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան 37-ից 36, 97,3%։ Ամերիկյան անիվի վրա՝ 38-ից 36, 94,7%։
Եթե առաջին խաղադրույքը շահում է (37-ից 18 անգամ), դուք մեկ միավոր շահած եք, իսկ առավելությունը ներքև է քաշում յուրաքանչյուր անվերջ խաղաշրջան, ուստի վաղ թե ուշ դուք նորից անցնում եք զրոյական կետով․ դա անխուսափելի է։ Եթե այն պարտվում է (37-ից 19 անգամ), պետք է մեկ միավոր բարձրանաք, և երբևէ մեկ միավոր առաջ լինելու հավանականությունը 18/19 է (տե՛ս վերևի աղյուսակը)։
Միասին․ 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37։
Ընդհանուր դեպքում հավանականությունը 1 է՝ հանած պտույտը շահելու և պարտվելու հավանականությունների տարբերությունը․ 1 − 1/37 եվրոպական անիվի վրա, 1 − 2/38՝ ամերիկյանի։ Առանց զրոյիանիվԶրոՄիակ կանաչ բջիջը, որը չի ծածկվում ոչ մի հավասար վճարով, դյուժինի կամ սյունակի խաղադրույքով․ կազինոյի առավելության աղբյուրը։ Նաև՝ մեկ զրո, 0։Կարդալ ամբողջը → խաղում տարբերությունը զրո է, և հավանականությունը 1 է․ հաշիվը միշտ վերադառնում է զրոյական կետին։ Էփսթայնը (2013) տալիս է ընդհանուր կանոնը։
Պասկալի 1656 թվականի խնդիրը․ երկու խաղացող գցում են երեք զառ, և յուրաքանչյուրը սկսում է 12 հաշվանիշով։ 11-ի յուրաքանչյուր գցում մեկ հաշվանիշ է տեղափոխում առաջին խաղացողին, 14-ի յուրաքանչյուր գցում՝ մեկը երկրորդին, մյուս գցումները չեն հաշվվում։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ առաջին խաղացողը կշահի բոլոր 24-ը։ Իսկ եթե դրա փոխարեն ամեն պտույտին 1 միավոր խաղադրույք անեք կարմիրի վրա ընկերոջ դեմ, որը բանկի դերում է, յուրաքանչյուրը 12 միավորով, որքա՞ն է հավանականությունը, որ կշահեք բոլոր 24-ը։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Առաջին խաղացողը շահում է մոտ 1158 դեպքից 1157-ում։ Դուք՝ կարմիրի վրա, բոլոր 24 միավորները շահում եք դեպքերի միայն մոտ 34%-ում։
Երեք զառը 11 են տալիս 27 եղանակով, իսկ 14՝ 15 եղանակով, ուստի յուրաքանչյուր տեղափոխվող հաշվանիշ 42-ից 27 անգամ, այսինքն՝ 14-ից 9 անգամ, գնում է առաջին խաղացողին։ Երբ յուրաքանչյուր կողմ սկսում է 12-ով, ամեն ինչ վերցնելու հավանականությունը 1/(1 + r¹²) է, որտեղ r-ը մյուս կողմի հավանականության և ձեր հավանականության հարաբերությունն է։
Առաջին խաղացողի համար r = 5/9, և (5/9)¹² ≈ 0,00086, ուստի հավանականությունը մոտ 0,99914 է․ շանսերը 9¹² առ 5¹² են, կամ 282 429 536 481 առ 244 140 625, մոտ 1157 առ 1։ Հյույգենսը 1657 թվականին տպագրեց ճիշտ այդ թվերը։
Կարմիրի վրա r = 19/18՝ զրոյի պատճառով, և (19/18)¹² ≈ 1,913․ ձեր հավանականությունը 1/2,913 ≈ 34,3% է։ Մետաղադրամը կտար 50%։ Յուրաքանչյուր խաղադրույքի 2,70% առավելությունը դրա համար պահանջվող բազմաթիվ խաղադրույքների ընթացքում գումարվում է 16 տոկոսային կետի տարբերության։
Մի քիչ հումոր
Համարձակ խաղն օպտիմալ է։ Այն նաև արագ է ավարտվում։
Աղբյուրներ
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Նամակ Հյույգենսին, 1656 թվականի սեպտեմբերի 28, Պասկալի՝ Ֆերմային առաջադրած խնդրի մասին։
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”