Խնդիր․ սեղանի սահմանաչափը
$10-ով Մարտինգեյլ $500 սահմանաչափով սեղանի մոտ։ Որքա՞ն հաճախ է այն կոտրվում, որքա՞ն է կորցնում կոտրման դեպքում, և արդյո՞ք սահմանաչափը բարձրացնելն օգնում է։
Վեց կորուստ անընդմեջ կոտրում է այն․ 1,8% մեկ ցիկլում, 100 պտույտանոց խաղաշրջանների մոտ 60%-ը։ Ձախողումն արժե $630։ Սահմանաչափը $5000-ի բարձրացնելը կոտրումը դարձնում է ավելի հազվադեպ (0,25% մեկ ցիկլում) և ավելի մեծ ($5110)։ Խաղադրույք արված մեկ դոլարի սպասվող կորուստը 2,70% է ցանկացած սահմանաչափի դեպքում։
Խնդիրը
Խաղացողը $10 է դնում կարմիրիխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը → վրա և կրկնապատկում գումարը յուրաքանչյուր կորստից հետո, իսկ շահումից հետո վերադառնում է սկզբնական գումարին։ Սեղանի առավելագույնը $500 է։ (a) Քանի՞ անընդմեջ կորուստ է կոտրում պրոգրեսիանռազմավարությունՊրոգրեսիաՑանկացած կանոն, որը փոխում է խաղադրույքի գումարը նախորդ արդյունքների հիման վրա։ Բացասական պրոգրեսիաներն այն բարձրացնում են կորուստներից հետո, դրականները՝ շահումներից հետո։Կարդալ ամբողջը →։ (b) Որքա՞ն է դրա հավանականությունըմաթեմատիկաՀավանականությունԱրդյունքի հնարավորությունը՝ 0-ից 1 կամ 0%-ից 100%։ Մեկ թիվ՝ 1/37 = 2,70%։Կարդալ ամբողջը → մեկ ցիկլում։ (c) Որքա՞ն է կորչում կոտրման դեպքում։ (d) Ինչպե՞ս է $5000 սահմանաչափը փոխում պատասխանները։ (e) Արդյո՞ք որևէ սահմանաչափ համակարգը շահութաբեր է դարձնում։
Լուծումներ (a)–(c)
Գումարներ՝ 10, 20, 40, 80, 160, 320։ Յոթերորդը կլիներ 640 > 500, ուստի վեց կորուստը կոտրում է այն։ (b) p(կորուստ) = 19/37 կարմիրի վրա, (19/37)⁶ = 0,0183, մոտ 1,8% մեկ ցիկլում։ Ցիկլը միջինում տևում է մոտ երկու պտույտ, ուստի 100 պտույտանոց խաղաշրջանն ունի մոտավորապես 50 ցիկլ, և p(առնվազն մեկ կոտրում) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%։ (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, այսինքն՝ 63 բազային միավորֆինանսներՄիավորԲազային խաղադրույքի գումարը, որով աշխատում է համակարգը կամ խաղացողը։ Պրոգրեսիաները նկարագրվում են միավորներով, որպեսզի կիրառելի լինեն ցանկացած սեղանի մոտ։Կարդալ ամբողջը →, այն $10-ի դիմաց, որը ցիկլը փորձում էր շահել։
Լուծում (d)
$5000-ի դեպքում թույլատրվում են մինչև 2560 գումարները, իսկ տասներորդ գումարը՝ 5120-ը, մերժվում է։ Ինը կորուստ կոտրում է այն․ (19/37)⁹ ≈ 0,25% մեկ ցիկլում, 100 պտույտանոց խաղաշրջանների մոտ 11%-ը։ Կորուստը կոտրման դեպքում՝ 10 + 20 + … + 2560 = $5110։ Խաղացողը գնել է ավելի հազվադեպ աղետ՝ ավելի մեծի գնով։ Բազմաթիվ խաղաշրջանների ընթացքում կոտրումների սպասվող ծախսը p × կորուստ ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 է մեկ ցիկլում $500 սահմանաչափի դեպքում և 0,0025 × 5110 = $12,8՝ $5000-ի դեպքում․ կլորացման ճշտությամբ սա նույն թիվն է, և այն ցիկլի սպասվող կորուստնմաթեմատիկաՍպասվող կորուստՍպասվող արժեքը՝ բազմապատկած խաղադրույք արված ամբողջ գումարով․ խաղաշրջանի կամ ժամանակահատվածի ընթացքում կորցրած միջին գումարը։Կարդալ ամբողջը → է՝ հանած այն $10-ը, որը վաստակում են շահող ցիկլերը։
Լուծում (e)
Ոչ։ Մեկ ցիկլի սպասվող կորուստ = (ցիկլում դրված ընդհանուր գումարի սպասումը) / 37 ցանկացած սահմանաչափի դեպքում, որովհետև յուրաքանչյուր խաղադրույք իր գումարի −1/37-ն է։ Սահմանաչափը միայն որոշում է, թե ինչպես է կորուստը բաշխվում բազմաթիվ փոքր շահումների և սակավաթիվ մեծ կորուստների միջև։ Առանց սահմանաչափի և անսահման խաղային բյուջեիֆինանսներԽաղային բյուջեԽաղի համար առանձնացված ամբողջ գումարը։ Խաղային բյուջեի կառավարումը որոշելն է, թե դրա որ մասը վտանգել մեկ խաղադրույքում և մեկ խաղաշրջանում։Կարդալ ամբողջը → դեպքում պրոգրեսիան «կաշխատեր» այն իմաստով, որ երբեք չէր կոտրվի, բայց նաև խաղադրույք կկատարեր անսահմանափակ գումարով՝ այդ անսահմանափակ գումարի 2,70% սպասվող կորստով։ Ոչ թե սեղանի սահմանաչափնսեղանՍեղանի սահմանաչափԹույլատրված նվազագույն և առավելագույն խաղադրույքը։ Առավելագույնն է, որ կանգնեցնում է կրկնապատկող պրոգրեսիաները։Կարդալ ամբողջը → է խանգարում ՄարտինգեյլինռազմավարությունՄարտինգեյլՊրոգրեսիա, որը յուրաքանչյուր կորստից հետո կրկնապատկում է խաղադրույքը։ Թե ինչ է այն անում և ինչ՝ ոչ, տե՛ս «Ռազմավարություն» բաժնում։Կարդալ ամբողջը → աշխատել։ Թվաբանությունն է։
Երկու իրական սեղան
Թորփի օրինակը $1 սեղան է $1000 առավելագույնով, որտեղ խաղացողը հույս ունի ընթրիքի համար $30 շահել՝ մեկական դոլարով։ 1, 2, 4 … 512 գումարները թույլ են տալիս տասը խաղադրույք, ուստի տասը կորուստ անընդմեջ կոտրում է պրոգրեսիան․ եվրոպական անիվի վրա 785 ցիկլը մեկ անգամ (ամերիկյանի վրա՝ 613-ը մեկ), $1023 արժեքով։ Երեսուն ցիկլն էլ հաջողվում են դեպքերի 96,2%-ում։ Մնացած 3,8%-ը կորցնում է մոտ $1000, և երեկոյի միջին արդյունքը −$9,17 է, ինչը ճիշտ այն $339-ի 1/37-ն է, որը երեսուն ցիկլը միջինում դնում է։ $5 սեղանը $2000 առավելագույնով ոչնչով չի տարբերվում․ մինչև $1280 գումարները թույլ են տալիս ինը խաղադրույք, և կոտրումը գալիս է եվրոպական անիվի վրա 403 ցիկլը մեկ անգամ (ամերիկյանի վրա՝ 323-ը մեկ) և արժե $2555։
Հարուստ խաղացող
Ցածր սահմանաչափի փոխարեն պրոգրեսիային տվեք խորը խաղային բյուջե․ 1000 միավոր, մեկ միավոր բազային գումար և 1000 պտույտ կարմիրի վրա՝ նորից սկսելով մեկ միավորից, երբ հաջորդ կրկնապատկումը գերազանցում է մնացածը։ Մենք մոդելավորեցինք միլիոն այդպիսի երեկո։ Եվրոպական անիվի վրա 52%-ն ավարտվում է շահույթով, 21%-ը կորցնում է ամեն ինչ, իսկ միջին արդյունքը −124 միավոր է։ Նույնիսկ առանց զրոյիանիվԶրոՄիակ կանաչ բջիջը, որը չի ծածկվում ոչ մի հավասար վճարով, դյուժինի կամ սյունակի խաղադրույքով․ կազինոյի առավելության աղբյուրը։ Նաև՝ մեկ զրո, 0։Կարդալ ամբողջը → խաղում, որտեղ յուրաքանչյուր խաղադրույք արդար է, միայն մոտ 60%-ը կավարտվեր շահույթով։ Սովորական երեկոն փոքր շահում է, իսկ միջինի գինը վճարում են այն երեկոները, որոնք ավարտվում են զրոյով։
Դասը
Կազինոները սահմանաչափեր են սահմանում՝ իրենց սեփական դիսպերսիանմաթեմատիկաԴիսպերսիաՉափ, թե որքան լայն են արդյունքները ցրված սպասվող արժեքի շուրջ։ Մեծ է մեկ թվի խաղադրույքի համար, փոքր՝ հավասար վճարով խաղադրույքների համար։Կարդալ ամբողջը → սահմանափակելու, ոչ թե համակարգերին հաղթելու համար։ Մարտինգեյլին հաղթելը կողմնակի արդյունք է, որից նրանք գոհ են, և թվաբանությունն առանց այդ էլ կհաղթեր դրան։ Խաղացողը, որը կարծում է, թե խնդիրը սահմանաչափն է, գտել է ժայռը և այն շփոթել լանջի հետ։
Բանաձև
Հարցեր
Այն թույլ է տալիս դիմանալ մինչև ավելի բարձր սահմանաչափ, որտեղ կոտրումն ավելի հազվադեպ է և ավելի մեծ։ Մեկ դոլարի սպասվող կորուստն անփոփոխ է։
Գումարներ՝ 10, 30, 70, 150, 310․ $500 սահմանաչափին հասնում եք հինգ կորստից հետո, և կոտրումն արժե $570։ Նույն 2,70%-ը։
Որպեսզի մեկ խաղացողը չկարողանա խաղադրույք կատարել ավելի, քան կազինոյի պահուստը կարող է հանգիստ վճարել։ Դիսպերսիայի կառավարում։
Մաթեմատիկական զվարճանքներ
Նախ փորձեք ինքներդ լուծել։ Յուրաքանչյուր լուծում ծալված է․ բացեք այն, երբ պատրաստ լինեք։
ՄարտինգեյլըռազմավարությունՄարտինգեյլՊրոգրեսիա, որը յուրաքանչյուր կորստից հետո կրկնապատկում է խաղադրույքը։ Թե ինչ է այն անում և ինչ՝ ոչ, տե՛ս «Ռազմավարություն» բաժնում։Կարդալ ամբողջը → սկսում է $100-ից կարմիրիխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը → վրա և իրեն թույլ է տալիս մեկ ցիկլում առավելագույնը n խաղադրույք․ անընդմեջ n կորստից հետո այն հրաժարվում է և սկսում նորից։ Գրեք մեկ ցիկլի միջին արդյունքը որպես n-ի բանաձև և հաշվեք այն եվրոպական անիվի վրա 5, 6 և 7 խաղադրույքի համար։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Միջինը 100 × (1 − (38/37)ⁿ) է․ −$14,26՝ 5 խաղադրույքի, −$17,35՝ 6-ի և −$20,52՝ 7-ի համար։ Ավելի շատ խաղադրույք թույլ տալը միջին ցիկլը վատթարացնում է, ոչ թե լավացնում։
Ցիկլը շահում է $100, բացի այն դեպքից, երբ բոլոր n խաղադրույքները պարտվում են, ինչը պատահում է qⁿ հավանականությամբ, որտեղ q = 19/37։ Երբ դրանք բոլորը պարտվում են, 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ գումարները կազմում են 100 × (2ⁿ − 1)։ Ուստի միջինը 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) է։
Այստեղ 2q = 38/37՝ 1-ից մի փոքր ավելի, ուստի (2q)ⁿ-ն աճում է n-ի հետ, և միջինը նվազում է․ n = 5-ը տալիս է 1,1426 և −$14,26, n = 6-ը՝ 1,1735 և −$17,35, n = 7-ը՝ 1,2052 և −$20,52։ Ավելի երկար սանդուղքը պարտվում է ավելի հազվադեպ՝ ցիկլերի 3,6%, 1,8% և 0,9%-ում, բայց յուրաքանչյուր կորուստ երկու անգամ ավելի մեծ է, և յուրաքանչյուր ցիկլում ավելի շատ գումար է անցնում սեղանով՝ յուրաքանչյուր խաղադրույքի 2,70%-ով։
Ամերիկյան անիվի վրա 2q = 40/38, և թվերն են −$29,24, −$36,04 և −$43,20 (Թեյլոր, 2021)։ Առանց զրոյիանիվԶրոՄիակ կանաչ բջիջը, որը չի ծածկվում ոչ մի հավասար վճարով, դյուժինի կամ սյունակի խաղադրույքով․ կազինոյի առավելության աղբյուրը։ Նաև՝ մեկ զրո, 0։Կարդալ ամբողջը → խաղում 2q = 1, և յուրաքանչյուր ցիկլ միջինում տալիս է ճիշտ զրո՝ որքան էլ երկար լինի սանդուղքը։
«Մեծ Մարտինգեյլը» կորստից հետո կրկնապատկում է գումարը և ավելացնում մեկ միավորֆինանսներՄիավորԲազային խաղադրույքի գումարը, որով աշխատում է համակարգը կամ խաղացողը։ Պրոգրեսիաները նկարագրվում են միավորներով, որպեսզի կիրառելի լինեն ցանկացած սեղանի մոտ։Կարդալ ամբողջը →, այնպես որ գումարներն են 1, 3, 7, 15, 31 … Որքա՞ն եք շահույթով, երբ առաջին շահումը գալիս է 1-ին, 2-րդ, 3-րդ կամ k-րդ խաղադրույքին։ $10 միավորի և $500 առավելագույնի դեպքում որքա՞ն հաճախ է ցիկլը կոտրվում, և միջինում որքա՞ն արժե ցիկլը։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան k-րդ խաղադրույքին շահումը ձեզ թողնում է k միավոր շահույթով՝ +1, +2, +3 և այդպես շարունակ։ $10-ի և $500-ի դեպքում ցիկլը կոտրվում է հինգ կորստից հետո՝ ցիկլերի 3,57%-ում, −$570-ով։ Միջինում ցիկլը կորցնում է $2,32 խաղադրույք արված $85,73-ից՝ 2,70%։
k-րդ գումարը 2ᵏ − 1 միավոր է․ 1, 3, 7, 15, 31։ Առաջին k − 1 գումարները կազմում են 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1։ k-րդ խաղադրույքին շահումը վճարում է 2ᵏ − 1, ուստի ցիկլն ավարտվում է (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k միավոր շահույթով՝ մեկ լրացուցիչ միավոր շահումից առաջ յուրաքանչյուր կորստի համար։
$10 միավորի դեպքում գումարներն են $10, $30, $70, $150 և $310, իսկ հաջորդը՝ $630-ը, գերազանցում է $500 առավելագույնը։ Անընդմեջ հինգ կորուստը՝ (19/37)⁵ = 3,57%, արժե 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570։
Միջինը․ շահումները բերում են $10 × k գումար (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 հավանականությամբ k = 1-ից 5-ի համար, իսկ կոտրումը տանում է $570՝ 3,57% հավանականությամբ․ միասին՝ −$2,32։ Խաղադրույք արված գումարը միջինում $85,73 է մեկ ցիկլում, և 2,32/85,73 = 2,70%։ Սովորական Մարտինգեյլը նույն սեղանին կոտրվում է վեց կորստից հետո՝ ցիկլերի 1,83%-ում, −$630-ով, և կորցնում է $1,74 խաղադրույք արված $64,20-ից՝ կրկին 2,70%։
Խաղացողը պլանավորում է Մարտինգեյլ կարմիրի վրա՝ $1 առաջին խաղադրույքով, սեղանի մոտ, որի սահմանաչափը $1000 է, ուստի հնարավոր է տասը խաղադրույք՝ $1, $2, $4 և այդպես շարունակ մինչև $512։ Որքա՞ն հաճախ են ցիկլում պարտվում բոլոր տասը, որքա՞ն է դա տևում միջինում, և որքա՞ն հաճախ է 200 խաղադրույքով երեկոն ավարտվում այդպես։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Ցիկլում բոլոր տասը խաղադրույքները պարտվում են մոտ 784-ից մեկ անգամ, ինչն արժե $1023։ Դա միջինում մոտ 1600 խաղադրույք է, և 200 խաղադրույքով երեկոն պատին է բախվում դեպքերի մոտ 11%-ում։ Ցիկլը միջինում այնուամենայնիվ կորցնում է $0,31 խաղադրույք արված $11,31-ից՝ 2,70%։
Կարմիրի վրա խաղադրույքը պարտվում է 19/37 հավանականությամբ՝ զրոն ներառյալ։ Տասն անընդմեջ․ (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, մոտ 784-ից 1։ 1 + 2 + 4 + … + 512 գումարները կազմում են $1023։
Ցիկլը միջինում տևում է 2,05 խաղադրույք, ուստի 784 ցիկլը տևում է մոտ 1600 խաղադրույք։ Պտույտ առ պտույտ հաշվելով՝ տասը կորստի շարքը 200 խաղադրույքի ընթացքում ինչ-որ տեղ հանդիպում է դեպքերի 11,3%-ում։
Աղետների միջև խաղացողը ցիկլում շահում է $1․ մոտ $783 մինչև վատ ցիկլը, ապա −$1023, ամբողջ ժամանակահատվածում՝ մոտ −$240։ Մեկ ցիկլում․ 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31։ Մեկ ցիկլում խաղադրույք արված գումարը․ 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31։ Եվ −0,31/11,31 = −2,70%։
Համեմատեք $10 առաջին խաղադրույքը $500 սահմանաչափի դեպքում՝ վեց խաղադրույք․ պատը գալիս է 55 ցիկլից մեկում, և 200 խաղադրույքով երեկոն դրան բախվում է դեպքերի 84%-ում։ Ավելի բարձր սահմանաչափը փլուզումը դարձնում է ավելի հազվադեպ և ավելի մեծ, ոչ թե ավելի էժան։
Մի քիչ հումոր
Ավելի հազվադեպ և ավելի մեծ՝ ցանկացած սահմանաչափի դեպքում։ Արտադրյալը հաստատուն է։
Աղբյուրներ
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.