Զուգամիտումը երկար ժամանակահատվածում․ մեծ թվերի օրենքը ռուլետկայում
Ինչպես է միջինը կայունանում −2,70%-ի շուրջ, և ինչու է դա ավելի երկար տևում, քան թվում է։
Մեկ պտույտի միջին կորուստը պտույտների կուտակմանը զուգընթաց զուգամիտում է −1/37-ին, իսկ ցրվածությունը նվազում է 1/√N-ի պես։ Կարմիրի վրա 1000 պտույտից հետո միջինը սովորաբար իր սպասվող արժեքից ±3%-ի սահմաններում է։
Մեծ թվերի օրենք
Անկախ խաղադրույքների ընթացիկ միջինը ձգտում է սպասվող արժեքինմաթեմատիկաՍպասվող արժեքՄեկ խաղադրույքի միջին արդյունքը երկար ժամանակահատվածում։ Յուրաքանչյուր ստանդարտ եվրոպական խաղադրույքի համար՝ խաղադրույքի գումարի −1/37։Կարդալ ամբողջը →։ Մեկ միավորովֆինանսներՄիավորԲազային խաղադրույքի գումարը, որով աշխատում է համակարգը կամ խաղացողը։ Պրոգրեսիաները նկարագրվում են միավորներով, որպեսզի կիրառելի լինեն ցանկացած սեղանի մոտ։Կարդալ ամբողջը → N հավասար վճարով պտույտից հետո մեկ պտույտի միջին արդյունքի սպասումը −1/37 է, իսկ ստանդարտ շեղումըմաթեմատիկաՍտանդարտ շեղումԴիսպերսիայի քառակուսի արմատը․ արդյունքի տիպիկ հեռավորությունը սպասվող արժեքից։Կարդալ ամբողջը →՝ 1/√N։ N = 100-ի դեպքում այդ ստանդարտ շեղումը խաղադրույքի գումարի 10%-ն է՝ գրեթե չորս անգամ ավելի, քան 2,7% ազդանշանը։ N = 1000-ի դեպքում այն 3,2% է՝ մոտավորապես ազդանշանի չափ։ N = 10 000-ի դեպքում այն 1% է, և առավելությունը հստակ երևում է։ Առավելությունն անտեսանելի է մեկ խաղաշրջանում և անվրեպ՝ մեկ տարվա ընթացքում։
Ինչն է զուգամիտում, և ինչը՝ ոչ
Մեկ պտույտի միջինը զուգամիտում է։ Ընդհանուր գումարը՝ ոչ․ N-ի աճին զուգընթաց այն ավելի ու ավելի է հեռանում զրոյից՝ սպասումով N-ի մոտ 2,7%-ով, իսկ դրա շուրջ ստանդարտ շեղումը √N է։ $10-ով 10 000 պտույտ խաղացած խաղացողի սպասվող կորուստը $2700 է՝ մոտ $1000 շեղումով այս կամ այն կողմ։ ԿարմիրներիխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը → ընթացիկ բաժինը վաղուց կայունացել է 48,65%-ի մոտ, իսկ ընթացիկ հաշվեկշիռը ոչ մի տեղ չի կայունացել։
- p10 −$440
- p25 −$280
- մեդիան −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Ինչու է ինտուիցիան սխալվում
Մարդիկ սպասում են, որ առավելությունը շուտ կերևա, որովհետև 2,70%-ը շատ է թվում, և սպասում են, որ երկար շարքերը «կհավասարակշռվեն», որովհետև մեծ թվերի օրենքնմաթեմատիկաՄեծ թվերի օրենքԱնկախ արդյունքների միջինը զուգամիտում է սպասվող արժեքին, երբ փորձերի թիվն աճում է։Կարդալ ամբողջը → ասում է, որ միջինները զուգամիտում են։ Երկու ինտուիցիան էլ սխալ են գնահատում մասշտաբը․ առավելությունը փոքր է մեկ պտույտի դիսպերսիայիմաթեմատիկաԴիսպերսիաՉափ, թե որքան լայն են արդյունքները ցրված սպասվող արժեքի շուրջ։ Մեծ է մեկ թվի խաղադրույքի համար, փոքր՝ հավասար վճարով խաղադրույքների համար։Կարդալ ամբողջը → համեմատ (σ = 1 միավոր՝ ընդդեմ EV = 0,027-ի), ուստի պահանջվում է (1/0,027)² ≈ 1400 պտույտ, որպեսզի այն տեսանելի դառնա մեկ սիգմայի մակարդակով։ Իսկ միջինի զուգամիտումը ոչ մի կերպ ետ չի բերում ընդհանուր գումարը․ այն միայն նոսրացնում է անցյալի տատանումները։
Զուգամիտումն այլ խաղադրույքների համար
Մեկ թվի խաղադրույքներիխաղադրույքՄեկ թվի խաղադրույքՄեկ թիվ, վճարում է 35:1։Կարդալ ամբողջը → համար σ = 5,84, ուստի նույն հաշվարկը տալիս է (5,84/0,027)² ≈ 47 000 պտույտ, որպեսզի առավելությունը հասնի մեկ սիգմայի։ Մեկ թվի վրա խաղացողը կարող է տարիներ շարունակ խաղալ, և իր սեփական գրառումներում առավելությունը չի տարբերվի բախտից, թեև նա վճարում է ճիշտ նույն 2,70%-ը, ինչ կարմիրի վրա խաղացողը, որն այն տեսնում է մի քանի շաբաթում։
Ինչ է սա նշանակում համակարգերի ստուգման համար
Ով պնդում է, թե համակարգն աշխատում է, պետք է կարողանա դա ցույց տալ 10 000 կամ ավելի պտույտի վրա՝ փաստաթղթավորված դրական միջինով։ 1000 պտույտում հավասար վճարով խաղադրույքի դրական միջինը զրոյական վարկածի դեպքում հինգից մեկ հավանականությամբ պատահույթ է, 100 պտույտում՝ գրեթե մետաղադրամի նետում։ Այս կայքի սիմուլյատորները մեկ վայրկյանում խաղարկում են ձեր ընտրած երկարության 2000 խաղաշրջան, ինչն ավելի շատ ապացույց է, քան ցանկացած վկայություն։
Բանաձև
Հարցեր
Կրկին շահույթի մեջ հայտնվելու հավանականությունըմաթեմատիկաՀավանականությունԱրդյունքի հնարավորությունը՝ 0-ից 1 կամ 0%-ից 100%։ Մեկ թիվ՝ 1/37 = 2,70%։Կարդալ ամբողջը → խաղի ընթացքում ձգտում է զրոյի։ Ընդհանուր գումարն անսահմանափակ նվազում է։
Ոչ։ Այն նշանակում է, որ անցյալի տատանումները դառնում են ավելի մեծ ընտրանքի ավելի փոքր մասը։
Հավասար վճարով խաղադրույքների համար՝ մոտ 10 000, մինչև առավելությունը հստակ երևա։ Մեկ թվի խաղադրույքների համար՝ մոտ 50 000։
Մաթեմատիկական զվարճանքներ
Նախ փորձեք ինքներդ լուծել։ Յուրաքանչյուր լուծում ծալված է․ բացեք այն, երբ պատրաստ լինեք։
Երկու ընկեր խաղում են արդար խաղիմաթեմատիկաԱրդար խաղԽաղ, որում ոչ մի կողմ առավելություն չունի․ յուրաքանչյուր խաղադրույքի սպասվող արժեքը զրո է։Կարդալ ամբողջը → 20 խաղափուլ՝ մետաղադրամի նետում կամ կարմիրխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը →՝ սևիխաղադրույքՍևՀավասար վճարով խաղադրույք 18 սև թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ noir։Կարդալ ամբողջը → դեմ, որտեղ զրոներիանիվԶրոՄիակ կանաչ բջիջը, որը չի ծածկվում ոչ մի հավասար վճարով, դյուժինի կամ սյունակի խաղադրույքով․ կազինոյի առավելության աղբյուրը։ Նաև՝ մեկ զրո, 0։Կարդալ ամբողջը → դեպքում խաղադրույքները վերադարձվում են, և հետևում են ընթացիկ հաշվին։ Հաշվեք այն խաղափուլերը, որոնց ընթացքում նրանցից յուրաքանչյուրն առաջ է (հավասար հաշիվը հաշվվում է նրան, ով առաջ էր անմիջապես դրանից առաջ)։ Ո՞րն է ավելի հավանական․ որ առաջատարությունը բաժանվի 10 խաղափուլ առ 10, թե՞ որ ընկերներից մեկն առաջ լինի բոլոր 20-ում։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Ընկերներից մեկի առաջատարությունը բոլոր 20 խաղափուլերում շատ ավելի հավանական է․ 35,2%՝ հաշվելով երկու ընկերներից ցանկացածին, հավասար 10 առ 10 բաժանման 6,1%-ի դիմաց։
Հավանականությունը, որ արդար ընթացիկ հաշիվը 2k խաղափուլից հետո հավասար է, u = C(2k, k)/2²ᵏ է․ 0,246՝ 10 խաղափուլից հետո, և 0,176՝ 20-ից հետո։ Դասական արդյունքը՝ արկսինուսի օրենքը, ասում է, որ նախապես նշված ընկերոջ՝ 2n խաղափուլից ճիշտ 2k-ում առաջ լինելու հավանականությունը u(2k) × u(2n − 2k) է։
Առաջ լինել բոլոր 20-ում․ u(20) × u(0) = 0,176 յուրաքանչյուր ընկերոջ համար, 35,2%՝ երկուսից որևէ մեկի համար։ Հավասար բաժանում․ u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%՝ բոլոր բաժանումներից ամենաքիչ հավանականը։
Ուստի արդար խաղում առաջատարությունը հազվադեպ է ձեռքից ձեռք անցնում։ Խաղացողը, որն ամբողջ երեկո առաջ է եղել կամ ամբողջ երեկո հետ է մնացել, ոչ մի անսովոր բան չի տեսել, և դա ոչինչ չի ասում ոչ անիվի, ոչ էլ հմտության մասին։ Էփսթայնը (2013) նույն օրենքը տալիս է ավելի երկար խաղերի համար․ դեպքերի կեսում ավելի բախտավոր կողմն առաջ է խաղի 85%-ից ավելիի ընթացքում։
Մի քիչ հումոր
Միջինը զուգամիտում է։ Ընդհանուր գումարը պարզապես հեռանում է։
Աղբյուրներ
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.