Շարքերի հավանականությունը ռուլետկայում
Մեկ գույնի երկար շարքերը տարածված են։ Դրանք նաև ոչինչ չեն նշանակում հաջորդ պտույտի համար։
Հինգ կարմիր անընդմեջ՝ 2,7%։ Տասը՝ 0,074%։ 200 պտույտանոց խաղաշրջանում մեկ գույնի վեցի շարքն ավելի հաճախ հայտնվում է, քան չի հայտնվում։
Որքան հաճախ է լինում կորուստների շարք
Հավասար վճարով խաղադրույքը մեկ զրոյով անիվում պարտվում է 37 պտույտից 19-ում։ Յուրաքանչյուր տող ցույց է տալիս հավանականությունը, որ տրված թվով պտույտներն անընդմեջ պարտվեն, և թե որքան է մինչ այդ կորցրել Մարտինգեյլով խաղացողը, որը յուրաքանչյուր կորստից հետո կրկնապատկում է գումարը։
| անընդմեջ կորուստներ | հավանականություն | մոտ 1-ը՝ այսքանից | կորցրած գումարը մինչ այդ | հաջորդ խաղադրույքը |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Հավանականությունը 19/37 է՝ բազմապատկած ինքն իրենով յուրաքանչյուր կորստի համար մեկ անգամ, հաշված մեկ որոշակի պտույտից։ Երկար խաղաշրջանում շատ պտույտներ կան, որոնցից կարող է սկսվել նման շարք, ուստի մեկ երեկոյի ընթացքում այն շատ ավելի հավանական է, քան ցույց է տալիս մեկ տողը։
Մեկ շարք
ՀավանականությունըմաթեմատիկաՀավանականությունԱրդյունքի հնարավորությունը՝ 0-ից 1 կամ 0%-ից 100%։ Մեկ թիվ՝ 1/37 = 2,70%։Կարդալ ամբողջը →, որ հաջորդ k պտույտները բոլորը կարմիրխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը → կլինեն, (18/37)ᵏ է։ Երկու՝ 23,7%։ Հինգ՝ 2,7%։ Տասը՝ 0,074%, մոտ 1350-ից 1։ Քսան՝ 1,8 միլիոնից 1։ Քսանվեց՝ Մոնտե Կառլոյի ռեկորդը՝ 137 միլիոնից 1։ Սրանք որոշակի պտույտից սկսվող որոշակի շարքի հավանականություններն են, իսկ դա այն հարցն է, որը գրեթե ոչ ոք իրականում չի տալիս։
Խաղաշրջանում
Մարդիկ իրականում նկատի ունեն այս հարցը․ «արդյո՞ք k-ի շարք կհայտնվի իմ խաղաշրջանում որևէ տեղ», և պատասխանը շատ ավելի մեծ է, քան (18/37)ᵏ, որովհետև 200 պտույտանոց խաղաշրջանում շարքը կարող է սկսվել գրեթե 200 տեղում։ Նույն գույնի՝ կարմիրի կամ սևիխաղադրույքՍևՀավասար վճարով խաղադրույք 18 սև թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ noir։Կարդալ ամբողջը →, վեց կամ ավելի երկար շարքը 200 պտույտանոց խաղաշրջանում հայտնվում է դեպքերի մոտ 94%-ում, ութ կամ ավելի երկարը՝ մոտ 47%-ում, տասը կամ ավելի երկարը՝ մոտ 14%-ում։ Եթե գույնը նախապես նշեք, շանսերը կնվազեն՝ մինչև մոտ 75%, 27% և 7%։ Ամբողջ երեկո խաղացողը երկար շարքեր կտեսնի ամեն երեկո։
Ինչու է դա կարևոր Մարտինգեյլի համար
Յուրաքանչյուր բացասական պրոգրեսիառազմավարությունՊրոգրեսիաՑանկացած կանոն, որը փոխում է խաղադրույքի գումարը նախորդ արդյունքների հիման վրա։ Բացասական պրոգրեսիաներն այն բարձրացնում են կորուստներից հետո, դրականները՝ շահումներից հետո։Կարդալ ամբողջը → ունի շարքի երկարություն, որը կոտրում է այն․ վեց պարտություն՝ $10 բազայից $500 սահմանաչափի դեպքում, տասը՝ ՖիբոնաչիիռազմավարությունՖիբոնաչիՊրոգրեսիա, որը հետևում է 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… հաջորդականությանը․ կորստից հետո մեկ քայլ առաջ, շահումից հետո երկու քայլ ետ։Կարդալ ամբողջը → համար, հինգը՝ դյուժիններիխաղադրույքԴյուժին1–12, 13–24 կամ 25–36, վճարում է 2:1։Կարդալ ամբողջը → վրա եռապատկելու դեպքում։ Հավասար վճարով խաղադրույքում վեց պարտության շարքի հավանականությունը (19/37)⁶ ≈ 1,8% է յուրաքանչյուր փորձի համար, իսկ 200 պտույտանոց խաղաշրջանը պարունակում է մոտ 100 փորձ, ուստի այդ երկարության խաղաշրջանների մոտավորապես հինգից չորսում կոտրումը տեղի է ունենում։ Ռուլետկայում շարքերի հավանականությունն է պատճառը, որ այդ ժայռը հազվադեպ չէ։
Տաք և սառը թվեր
Նույն թվաբանությունը կիրառվում է մեկ թվի խաղադրույքներիխաղադրույքՄեկ թվի խաղադրույքՄեկ թիվ, վճարում է 35:1։Կարդալ ամբողջը → նկատմամբ։ 300 պտույտում յուրաքանչյուր թվի սպասվող հաճախականությունը 8,1 է, իսկ ստանդարտ շեղումըմաթեմատիկաՍտանդարտ շեղումԴիսպերսիայի քառակուսի արմատը․ արդյունքի տիպիկ հեռավորությունը սպասվող արժեքից։Կարդալ ամբողջը →՝ մոտ 2,8։ Միայն պատահականության շնորհիվ ամեն անգամ ինչ-որ թիվ կհայտնվի 15 անգամ, իսկ ինչ-որ մեկը՝ 2։ «Տաք» թվերն ընդգծող ցուցատախտակն ընդգծում է նորմալ բաշխման վերին մասը։ Լաբորատորիան բացատրում է, թե քանի պտույտ է պետք, որպեսզի տաք թիվնառասպելՏաք թիվԹիվ, որը վերջերս դուրս է եկել սպասվածից ավելի հաճախ։ Արդար անիվի վրա այն ոչինչ չի կանխատեսում։Կարդալ ամբողջը → ինչ-որ բան նշանակի (հազարավոր՝ մեկ որոշակի անիվից)։
Անկախությունն է ամբողջ էությունը
Տասը կարմիրի շարքը սևն ավելի հավանական չի դարձնում, և կարմիրն էլ ավելի հավանական չի դարձնում։ Երկուսն էլ 18/37 են։ Շարքերը պատահական հաջորդականությունների հատկություն են, և կասկածելի կլիներ դրանց բացակայությունը․ 200 պտույտի հաջորդականությունը, որում ոչ մի շարք չորսից երկար չէ, միջամտության շատ ավելի ուժեղ ապացույց կլիներ, քան տասներկուսի շարք ունեցողը։
Բանաձև
Հարցեր
Ամենահայտնին 26 սևն է Մոնտե Կառլոյում՝ 1913 թվականի օգոստոսի 18-ին։ Հաղորդվել է նաև 32 կարմիրի անընդմեջ շարքի մասին ամերիկյան մի կազինոյում՝ 1943 թվականին։ Երկուսն էլ համատեղելի են պատահականության հետ՝ հաշվի առնելով, թե քանի պտույտ են անում կազինոները։
Երկու դեպքում էլ 18/37 է։ Խաղադրույք կատարեք այն, ինչ ասում է ձեր պլանը, կամ ոչինչ մի դրեք։
Ոչ։ Շեղվածությունը դրսևորվում է նրանով, որ որոշ բջիջներսարքավորումԲջիջՌոտորի 37 համարակալված բաժանմունքներից մեկը։ Նաև՝ խորշ, գավաթ։Կարդալ ամբողջը → հազարավոր պտույտների ընթացքում ավելի հաճախ են ընկնում, ոչ թե գույնի շարքերով։
Մաթեմատիկական զվարճանքներ
Նախ փորձեք ինքներդ լուծել։ Յուրաքանչյուր լուծում ծալված է․ բացեք այն, երբ պատրաստ լինեք։
Միջինում եվրոպական անիվի քանի՞ պտույտ է պետք, մինչև 37 թվերից յուրաքանչյուրը գոնե մեկ անգամ դուրս գա։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Միջինում մոտ 155 պտույտ, մեդիանը 147 է։
Հաշվեք սպասումը՝ ամեն անգամ մեկ նոր թիվ։ Առաջին պտույտը միշտ նոր թիվ է տալիս։ Երբ արդեն տեսել եք 1 թիվ, 37 բջիջներիցսարքավորումԲջիջՌոտորի 37 համարակալված բաժանմունքներից մեկը։ Նաև՝ խորշ, գավաթ։Կարդալ ամբողջը → 36-ը նոր են, ուստի հաջորդ նոր թիվը միջինում պահանջում է 37/36 պտույտ։ Երբ տեսել եք k թիվ, այն պահանջում է 37/(37 − k)։
Գումարեք սպասումները․ 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 պտույտ։
Դրա մեծ մասը վերջին հատվածն է։ Միայն վերջին թիվը միջինում պահանջում է 37 պտույտ, իսկ վերջին հինգը՝ մոտ 85։ Ամերիկյան անիվի վրա նույն գումարը տալիս է մոտ 161։ Սա կտրոններ հավաքողի խնդիրն է․ նույն միջինը ստացվում է ստանդարտ հաշվարկից։
Եվրոպական անիվի 37 պտույտում՝ յուրաքանչյուր բջջի համար մեկ պտույտ, քանի՞ տարբեր թիվ պետք է սպասել տեսնել։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Մոտ 23,6։ Թվերի մոտ մեկ երրորդը՝ մոտ 13-ը, ընդհանրապես դուրս չի գալիս։
Վերցրեք մեկ թիվ, օրինակ՝ 17-ը։ Յուրաքանչյուր պտույտում այն դուրս չի գալիս 36/37 հավանականությամբ, ուստի բոլոր 37 պտույտներում դուրս չի գալիս (36/37)³⁷ ≈ 0,363 հավանականությամբ։
Բոլոր թվերն ունեն նույն հավանականությունը, ուստի միջինում 37 × 0,363 ≈ 13,4 թիվ բացակայում է, և 37 − 13,4 ≈ 23,6-ը դուրս են գալիս, դրանցից շատերը՝ երկու կամ ավելի անգամ։
Ռուլետկա խաղացողներն այս երևույթն անվանում են երրորդների օրենք։ Դա օրենք չէ, միայն կրկնությունների թվաբանություն է․ անիվի բջիջների թվին հավասար պտույտների հաջորդականությունում թվերի մոտ մեկ երրորդը դուրս չի գալիս՝ արդար անիվի վրա, ինչպես և ցանկացած այլ անիվի վրա։ 38 բջջի դեպքում բաժինը նույնպես (37/38)³⁸ ≈ 0,363 է, իսկ մեծ անիվի դեպքում այն կայունանում է 1/e ≈ 0,368-ի մոտ։
Ընկերը ձեզ ցույց է տալիս 50 գույնից բաղկացած երկու ցուցակ՝ կարմիրխաղադրույքԿարմիրՀավասար վճարով խաղադրույք 18 կարմիր թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ rouge։Կարդալ ամբողջը → կամ սևխաղադրույքՍևՀավասար վճարով խաղադրույք 18 սև թվերի վրա։ Ֆրանսերեն՝ noir։Կարդալ ամբողջը →, որոնցից յուրաքանչյուրը, իբր, ստացվել է անիվից՝ զրոներըանիվԶրոՄիակ կանաչ բջիջը, որը չի ծածկվում ոչ մի հավասար վճարով, դյուժինի կամ սյունակի խաղադրույքով․ կազինոյի առավելության աղբյուրը։ Նաև՝ մեկ զրո, 0։Կարդալ ամբողջը → հանված։ Մեկում գույնը փոխվում է 25 անգամ, և ամենաերկար շարքը վեցն է։ Մյուսում գույնը փոխվում է 35 անգամ, և շարքը երբեք երեքից երկար չէ։ Ո՞րն է հորինված։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Երկրորդը։ Իրական ցուցակում գույնը փոխվում է մոտ 24 կամ 25 անգամ։ 35 փոփոխությամբ ցուցակ հանդիպում է մոտ 500 ցուցակից մեկում, իսկ երեքից երկար շարք չունեցող ցուցակ՝ մոտ 100-ից երկուսում։
Յուրաքանչյուր նոր գույն կամ կրկնում է նախորդը, կամ փոխվում է՝ կես առ կես, ուստի փոխվելու 49 հնարավորությունը միջինում տալիս է 24,5 փոփոխություն, որի ստանդարտ շեղումը մոտ 3,5 է։ Երեսունհինգը միջինից երեք ստանդարտ շեղում վեր է․ արդար անիվն այդքան փոփոխություն տալիս է մոտ 500 ցուցակից մեկում։
Շարքերը նույնն են պատմում։ 50 գույնի իրական ցուցակում չորս կամ ավելի երկար շարք լինում է դեպքերի մոտ 98%-ում, և ամենաերկար շարքն ամենից հաճախ հինգ կամ վեց է։
Մարդիկ, որոնց խնդրում են պատահական ցուցակ հորինել, գույնը չափազանց հաճախ են փոխում, որովհետև չորսի կամ հինգի շարքը նրանց թվում է օրինաչափություն։ Թեյլորը (2021) նույն նշանը ցույց է տալիս ուսանողների հորինած մետաղադրամի նետումների ցուցակներում․ իրական պատահականության մեջ շարքերն ավելի շատ են, քան մարդիկ սպասում են։
Կազինոյի պատմությունների մի գրքում պատմվում է խաղացողի մասին, որի թիվը դուրս եկավ հինգ անգամ անընդմեջ, և դա անվանվում է ռեկորդ։ Որքա՞ն հազվադեպ է դա եվրոպական անիվի վրա։ Եվ որքա՞ն հաճախ պետք է դա պատահի ինչ-որ տեղ 20 սեղանով մեկ կազինոյում, որտեղ յուրաքանչյուր սեղանին ժամում 40 պտույտ է կատարվում՝ օր ու գիշեր։
Ցույց տալ լուծումը
Պատասխան Նախապես նշված թիվը հինգ անգամ անընդմեջ՝ 69 միլիոնից 1։ Ցանկացած թիվ, որն իր առաջին հայտնվելուց հետո դուրս է գալիս ևս չորս անգամ՝ 1,87 միլիոնից 1։ Այդ կազինոն տարեկան կատարում է մոտ 7 միլիոն պտույտ, ուստի հինգի շարք պետք է տեսնի տարեկան երեք-չորս անգամ։
Նշված թիվը յուրաքանչյուր պտույտում դուրս է գալիս 1/37 հավանականությամբ, ուստի հինգ անգամ անընդմեջ դուրս գալու հավանականությունը (1/37)⁵ = 69 343 957-ից 1 է։ Բայց ոչ ոք թիվը նախապես չի նշում։ Ինչ էլ առաջինը դուրս գա, հաջորդ չորս պտույտները պետք է կրկնեն այն․ (1/37)⁴ = 1 874 161-ից 1։
20 սեղան × 40 պտույտ × 24 ժամ × 365 օր = 7 008 000 պտույտ տարեկան։ Յուրաքանչյուր պտույտ կարող է շարք սկսել, ուստի կազինոն տարեկան սպասում է 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 հինգի շարք։
Այս տեսակի պաշտոնական ռեկորդ գոյություն չունի, և դրա կարիքն էլ չկա․ մեկ սեղանի հազվադեպ իրադարձությունը սովորական է ամբողջ կազինոյի համար, իսկ պատմությունները պատմվում են այն սեղանի մասին, որտեղ դա պատահել է։ Գոլդմանի (2007) պատմությունը տեղի է ունենում կրկնակի զրոյով անիվի վրա, որտեղ թվերն են 79 միլիոնից 1 և 2,09 միլիոնից 1։
Մի քիչ հումոր
Երկար շարքերն այն են, ինչ տեսք ունի պատահականությունը։
Աղբյուրներ
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.